В прямоугольном параллелепипеде ABCD A1B1C1D1 AB = 5 см; AD = 12 см. Вычисли объём, если угол между диагональю параллелепипеда и боковым ребром равен 45°.

Пусть дан прямоугольный параллелепипед $$ABCDA_1B_1C_1D_1$$ с ребрами $$AB = 5$$ см и $$AD = 12$$ см. Угол между диагональю параллелепипеда и боковым ребром равен $$45^circ$$. Обозначим боковое ребро $$AA_1 = h$$. Нужно найти объем параллелепипеда.

1. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный диагональю параллелепипеда $$AC_1$$, боковым ребром $$CC_1$$ и диагональю основания $$AC$$. Угол между диагональю $$AC_1$$ и боковым ребром $$CC_1$$ равен $$45^circ$$. Поскольку $$angle AC_1C = 45^circ$$, то $$angle CAC_1 = 90^circ - 45^circ = 45^circ$$. Следовательно, треугольник $$ACC_1$$ равнобедренный и прямоугольный, то есть $$AC = CC_1 = h$$.

2. Найдем диагональ основания $$AC$$ по теореме Пифагора для прямоугольника $$ABCD$$:

$$ AC^2 = AB^2 + BC^2 = AB^2 + AD^2 $$ $$ AC^2 = 5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169 $$ $$ AC = \sqrt{169} = 13 $$

3. Так как $$AC = h$$, то $$h = 13$$ см.

4. Объем прямоугольного параллелепипеда вычисляется по формуле:

$$ V = S_{осн} cdot h = AB cdot AD cdot h $$ $$ V = 5 cdot 12 cdot 13 = 60 cdot 13 = 780 $$

Таким образом, объем параллелепипеда равен 780 кубических сантиметров.

Ответ: 780 см³