В прямоугольном параллелепипеде $$ABCDA_1B_1C_1D_1$$ известны длины рёбер: $$AB=7$$, $$AD=3$$, $$AA_1=4$$. Найдите площадь сечения параллелепипеда плоскостью, проходящей через точки $$A$$, $$B$$ и $$C_1$$.

Рассмотрим прямоугольный параллелепипед $$ABCDA_1B_1C_1D_1$$ с заданными длинами рёбер: $$AB = 7$$, $$AD = 3$$, $$AA_1 = 4$$. Нам нужно найти площадь сечения, проходящего через точки $$A$$, $$B$$ и $$C_1$$. Это сечение представляет собой треугольник $$ABC_1$$.

Для нахождения площади треугольника $$ABC_1$$ нам нужно знать длины его сторон. Мы можем найти их, используя теорему Пифагора.

1. Найдём длину стороны $$AB$$: Она равна ребру параллелепипеда, то есть $$AB = 7$$.

2. Найдём длину стороны $$BC_1$$: Рассмотрим прямоугольный треугольник $$BCC_1$$. В нём $$BC = AD = 3$$ и $$CC_1 = AA_1 = 4$$. Тогда по теореме Пифагора:

$$BC_1 = \sqrt{BC^2 + CC_1^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$$

3. Найдём длину стороны $$AC_1$$: Рассмотрим прямоугольный треугольник $$ACC_1$$. В нём $$AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{7^2 + 3^2} = \sqrt{49 + 9} = \sqrt{58}$$ и $$CC_1 = AA_1 = 4$$. Тогда по теореме Пифагора:

$$AC_1 = \sqrt{AC^2 + CC_1^2} = \sqrt{(\sqrt{58})^2 + 4^2} = \sqrt{58 + 16} = \sqrt{74}$$

Теперь мы знаем длины всех трёх сторон треугольника $$ABC_1$$: $$AB = 7$$, $$BC_1 = 5$$ и $$AC_1 = \sqrt{74}$$.

Для нахождения площади треугольника можно воспользоваться формулой Герона:

$$S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$$, где $$p$$ - полупериметр треугольника, а $$a$$, $$b$$, $$c$$ - длины его сторон.

Полупериметр $$p$$ равен:

$$p = \frac{AB + BC_1 + AC_1}{2} = \frac{7 + 5 + \sqrt{74}}{2} = \frac{12 + \sqrt{74}}{2} = 6 + \frac{\sqrt{74}}{2}$$

Теперь вычислим площадь:

$$S = \sqrt{p(p-AB)(p-BC_1)(p-AC_1)} = \sqrt{\left(6 + \frac{\sqrt{74}}{2}\right) \left(6 + \frac{\sqrt{74}}{2} - 7\right) \left(6 + \frac{\sqrt{74}}{2} - 5\right) \left(6 + \frac{\sqrt{74}}{2} - \sqrt{74}\right)}$$ $$S = \sqrt{\left(6 + \frac{\sqrt{74}}{2}\right) \left(-1 + \frac{\sqrt{74}}{2}\right) \left(1 + \frac{\sqrt{74}}{2}\right) \left(6 - \frac{\sqrt{74}}{2}\right)}$$ $$S = \sqrt{\left(36 - \frac{74}{4}\right) \left(\frac{74}{4} - 1\right)} = \sqrt{\left(36 - \frac{37}{2}\right) \left(\frac{37}{2} - 1\right)}$$ $$S = \sqrt{\left(\frac{72-37}{2}\right) \left(\frac{37-2}{2}\right)} = \sqrt{\frac{35 \cdot 35}{4}} = \frac{35}{2} = 17.5$$

Ответ: 17.5