В прямоугольном параллелепипеде $ABCDA_1B_1C_1D_1$ ребро $CD = 2$, ребро $BC = 2\sqrt{2}$, ребро $CC_1 = 4$. Точка $K$ – середина ребра $DD_1$. Найдите площадь сечения, проходящего через точки $C_1$, $B_1$ и $K$.

Рассмотрим прямоугольный параллелепипед $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Дано: $CD = 2$, $BC = 2\sqrt{2}$, $CC_1 = 4$, $K$ – середина $DD_1$. Найти: площадь сечения $C_1B_1K$. Решение: 1. Так как $K$ – середина $DD_1$, то $D_1K = \frac{1}{2}DD_1 = \frac{1}{2}CC_1 = \frac{1}{2} \cdot 4 = 2$. 2. Сечение $C_1B_1K$ представляет собой треугольник. Найдем стороны этого треугольника. 3. $C_1B_1 = \sqrt{(C_1D_1)^2 + (D_1A_1)^2} = \sqrt{(CD)^2 + (BC)^2} = \sqrt{2^2 + (2\sqrt{2})^2} = \sqrt{4 + 8} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}$. 4. $B_1K = \sqrt{(B_1C_1)^2 + (C_1C)^2 + (CK)^2} = \sqrt{(B_1C_1)^2 + (C_1D_1)^2 + (D_1K)^2}= \sqrt{(2\sqrt{2})^2 + (4)^2 + (2)^2} = \sqrt{8 + 16 + 4} = \sqrt{28} = 2\sqrt{7}$. 5. $C_1K = \sqrt{(C_1D_1)^2 + (D_1K)^2} = \sqrt{(CD)^2 + (D_1K)^2} = \sqrt{2^2 + 2^2} = \sqrt{4 + 4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$. 6. Для нахождения площади треугольника $C_1B_1K$ воспользуемся формулой Герона: $S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$, где $p$ – полупериметр треугольника, а $a, b, c$ – его стороны. 7. Найдем полупериметр: $p = \frac{C_1B_1 + B_1K + C_1K}{2} = \frac{2\sqrt{3} + 2\sqrt{7} + 2\sqrt{2}}{2} = \sqrt{3} + \sqrt{7} + \sqrt{2}$. 8. Упростим расчеты, заметив, что сечение представляет собой прямоугольный треугольник. Проверим это, используя теорему Пифагора: $(2\sqrt{3})^2 + (2\sqrt{2})^2 = (2\sqrt{7})^2$ $12 + 8 = 28$ $20
e 28$. Значит, треугольник не прямоугольный. 9. Площадь треугольника можно вычислить по формуле: $S = \frac{1}{2} cdot a cdot h$, где $a$ - основание, $h$ - высота. В данном случае нам проще всего рассмотреть треугольник $C_1B_1K$ и найти высоту, опущенную из вершины $K$ на сторону $C_1B_1$. Однако, существует более простой способ. Заметим, что сечение представляет собой трапецию $C_1B_1BA$. Площадь трапеции равна полусумме оснований на высоту. Проведем $KN \parallel C_1B_1$. Тогда $KN = \frac{1}{2} C_1B_1 = \frac{1}{2} 2\sqrt{3} = \sqrt{3}$. Площадь трапеции $C_1B_1BA = \frac{C_1B_1 + AK}{2} cdot AA_1 = \frac{2\sqrt{3} + \sqrt{3}}{2} cdot 4 = \frac{3\sqrt{3}}{2} cdot 4 = 6\sqrt{3}$ 10. Теперь нужно вычесть площадь треугольника $AKD$. $AKD = \frac{1}{2}AD cdot DK = \frac{1}{2} cdot 2\sqrt{2} cdot 2 = 2\sqrt{2}$ $S = 6\sqrt{3} - 2\sqrt{2} = 2(3\sqrt{3} - \sqrt{2}) \approx 7.83$. 11. Есть другой подход. Сечение $C_1B_1K$ - это треугольник. Его можно достроить до параллелограмма, проведя линии параллельные сторонам. Найдем площадь $S = \frac{1}{2} | (x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2) )|$. У нас координаты точек: $C_1 (2, 2\sqrt{2}, 4)$, $B_1(0, 2\sqrt{2}, 4)$, $K(2, 0, 2)$. $S = \frac{1}{2} | (2(2\sqrt{2} - 0) + 0(0 - 2\sqrt{2}) + 2(2\sqrt{2} - 2\sqrt{2}) )| = \frac{1}{2} | (4\sqrt{2} + 0 + 0 ) | = 2\sqrt{2} \approx 2.83$. Данное решение неверно, так как ответ отличается от правильного ответа. Правильный ответ: $6$