Для решения этой задачи нам понадобится представить пространственную конфигурацию и использовать знания геометрии.
1. Визуализация: Представим прямоугольный параллелепипед $$ABCDA_1B_1C_1D_1$$. Точка $$F$$ находится посередине ребра $$A_1B_1$$.
2. Векторный подход: Чтобы найти угол между прямыми, удобно использовать векторы. Определим векторы $$\vec{BB_1}$$ и $$\vec{DF}$$.
3. Координаты точек: Введем систему координат. Пусть точка $$A$$ будет началом координат $$(0, 0, 0)$$. Тогда координаты остальных точек:
* $$A(0, 0, 0)$$
* $$B(16, 0, 0)$$
* $$D(0, 6, 0)$$
* $$A_1(0, 0, 5)$$
* $$B_1(16, 0, 5)$$
* $$F(\frac{0+16}{2}, \frac{0+0}{2}, \frac{5+5}{2}) = (8, 0, 5)$$
* $$D(0, 6, 0)$$
4. Векторы: Теперь найдем векторы $$\vec{BB_1}$$ и $$\vec{DF}$$:
* $$\vec{BB_1} = B_1 - B = (16, 0, 5) - (16, 0, 0) = (0, 0, 5)$$
* $$\vec{DF} = F - D = (8, 0, 5) - (0, 6, 0) = (8, -6, 5)$$
5. Тангенс угла: Чтобы найти тангенс угла между векторами, сначала найдем косинус угла, используя формулу скалярного произведения:
\[ \cos(\theta) = \frac{\vec{BB_1} \cdot \vec{DF}}{|\vec{BB_1}| \cdot |\vec{DF}|} \]
* $$\vec{BB_1} \cdot \vec{DF} = (0)(8) + (0)(-6) + (5)(5) = 0 + 0 + 25 = 25$$
* $$|\vec{BB_1}| = \sqrt{0^2 + 0^2 + 5^2} = \sqrt{25} = 5$$
* $$|\vec{DF}| = \sqrt{8^2 + (-6)^2 + 5^2} = \sqrt{64 + 36 + 25} = \sqrt{125} = 5\sqrt{5}$$
Тогда,
\[ \cos(\theta) = \frac{25}{5 \cdot 5\sqrt{5}} = \frac{25}{25\sqrt{5}} = \frac{1}{\sqrt{5}} \]
6. Находим синус угла: Используем основное тригонометрическое тождество $$\sin^2(\theta) + \cos^2(\theta) = 1$$:
\[ \sin^2(\theta) = 1 - \cos^2(\theta) = 1 - \left(\frac{1}{\sqrt{5}}\right)^2 = 1 - \frac{1}{5} = \frac{4}{5} \]
\[ \sin(\theta) = \sqrt{\frac{4}{5}} = \frac{2}{\sqrt{5}} \]
7. Тангенс угла: Теперь найдем тангенс угла:
\[ \tan(\theta) = \frac{\sin(\theta)}{\cos(\theta)} = \frac{\frac{2}{\sqrt{5}}}{\frac{1}{\sqrt{5}}} = 2 \]
Ответ: 2