В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 известны длины рёбер: AB=11, AD=6, АА1=8. Найдите площадь сечения параллелепипеда плоскостью, проходящей через точки А, В и С1.

Для решения этой задачи нам потребуется понимание геометрии прямоугольного параллелепипеда и умение находить площадь параллелограмма. Сечение, проходящее через точки A, B и C1, представляет собой параллелограмм.

1. Визуализация и основные элементы:

Представим себе прямоугольный параллелепипед ABCDA1B1C1D1. У нас есть следующие размеры:

• AB = 11 (длина)
• AD = 6 (ширина)
• AA1 = 8 (высота)

Сечение проходит через точки A, B и C1. Это сечение - параллелограмм ABC1D', где D' - некоторая точка на ребре DD1.

2. Нахождение сторон параллелограмма:

• Сторона AB нам известна: AB = 11.
• Нам нужно найти длину стороны BC1. Рассмотрим прямоугольный треугольник BCC1. BC = AD = 6, CC1 = AA1 = 8. По теореме Пифагора:

$$BC_1 = \sqrt{BC^2 + CC_1^2} = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10$$

Итак, BC1 = 10.

3. Нахождение площади параллелограмма:

Площадь параллелограмма можно найти как произведение основания на высоту. В нашем случае, удобно рассмотреть параллелограмм ABC1D' как наклонённый к плоскости ABCD. Мы можем спроецировать вектор \(\overrightarrow{BC_1}\) на плоскость, перпендикулярную AB.

Однако, есть более простой подход. Сечение ABC1D' – это параллелограмм. Его площадь можно найти, зная две стороны (AB и BC1) и угол между ними. Но найти угол между AB и BC1 напрямую сложно. Вместо этого, найдем площадь ABC1D' используя векторное произведение.

Пусть вектор \(\overrightarrow{AB} = (11, 0, 0)\) и вектор \(\overrightarrow{AD} = (0, 6, 0)\). Тогда вектор \(\overrightarrow{AC_1} = \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{DC} + \overrightarrow{CC_1} = (11, 6, 8)\).

Мы можем рассмотреть треугольник ABC1. Площадь параллелограмма ABC1D' будет в два раза больше площади этого треугольника.

Площадь треугольника ABC1 можно найти как половину модуля векторного произведения \(\overrightarrow{AB}\) и \(\overrightarrow{AC_1}\):

$$\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC_1} = (0 \cdot 8 - 0 \cdot 6, 0 \cdot 11 - 11 \cdot 8, 11 \cdot 6 - 0 \cdot 11) = (0, -88, 66)$$

Модуль этого вектора:

$$|\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC_1}| = \sqrt{0^2 + (-88)^2 + 66^2} = \sqrt{7744 + 4356} = \sqrt{12100} = 110$$

Площадь треугольника ABC1:

$$S_{\triangle ABC_1} = \frac{1}{2} |\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC_1}| = \frac{1}{2} \cdot 110 = 55$$

Площадь параллелограмма ABC1D':

$$S_{ABC_1D'} = 2 cdot S_{\triangle ABC_1} = 2 cdot 55 = 110$$

Ответ: 110