В прямоугольном треугольнике ABC ∠C = 90°, AC = 8 см, ∠A = 45°. Найдите: a) AC; б) высоту CD, проведенную к гипотенузе.

a) Сторона AC дана в условии: AC = 8 см.

б) Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC, в котором ∠C = 90° и ∠A = 45°. Так как сумма углов в треугольнике равна 180°, то ∠B = 180° - 90° - 45° = 45°. Следовательно, треугольник ABC равнобедренный (AC = BC).

Тогда BC = AC = 8 см.

Теперь найдем гипотенузу AB по теореме Пифагора:

$$AB = \sqrt{AC^2 + BC^2} = \sqrt{8^2 + 8^2} = \sqrt{64 + 64} = \sqrt{128} = 8\sqrt{2}$$

Площадь треугольника ABC можно найти двумя способами:

1. Через катеты: $$S = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BC = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 8 = 32$$
2. Через гипотенузу и высоту, проведенную к ней: $$S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot CD = \frac{1}{2} \cdot 8\sqrt{2} \cdot CD$$

Приравняем оба выражения для площади:

$$\frac{1}{2} \cdot 8\sqrt{2} \cdot CD = 32$$

Решим уравнение относительно CD:

$$4\sqrt{2} \cdot CD = 32$$

$$CD = \frac{32}{4\sqrt{2}} = \frac{8}{\sqrt{2}} = \frac{8\sqrt{2}}{2} = 4\sqrt{2}$$

Ответ: a) AC = 8 см; б) CD = 4√2 см