В прямоугольном треугольнике ABC (∠C = 90°) проведена биссектриса AK. Известно, что CK = 5 см и AK = 10 см. Найдите длину катета BC.

Для решения этой задачи нам понадобятся знания о свойствах биссектрисы в прямоугольном треугольнике и теореме Пифагора.

Пусть дан прямоугольный треугольник ABC, где угол C прямой (90°). AK - биссектриса угла A. Известно, что CK = 5 см и AK = 10 см. Нужно найти длину катета BC.

1. Рассмотрим треугольник ACK, который является прямоугольным (так как угол C = 90°). Мы знаем AK (гипотенуза) и CK (катет). Можем найти катет AC, используя теорему Пифагора:

$$AC^2 + CK^2 = AK^2$$

$$AC^2 + 5^2 = 10^2$$

$$AC^2 + 25 = 100$$

$$AC^2 = 75$$

$$AC = \sqrt{75} = 5\sqrt{3}$$

Итак, AC = 5√3 см.

2. Теперь воспользуемся свойством биссектрисы угла в треугольнике. Биссектриса делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам:

$$\frac{CK}{BK} = \frac{AC}{AB}$$

Мы знаем CK = 5 см и AC = 5√3 см. Нужно найти BK и AB, чтобы найти BC = BK + CK.

3. Обозначим BK как x. Тогда BC = x + 5. Теперь выразим AB через AC и BC, используя теорему Пифагора для треугольника ABC:

$$AC^2 + BC^2 = AB^2$$

$$(5\sqrt{3})^2 + (x + 5)^2 = AB^2$$

$$75 + (x + 5)^2 = AB^2$$

$$AB = \sqrt{75 + (x + 5)^2}$$

4. Подставим известные значения в пропорцию, полученную из свойства биссектрисы:

$$\frac{5}{x} = \frac{5\sqrt{3}}{\sqrt{75 + (x + 5)^2}}$$

$$\frac{1}{x} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{75 + (x + 5)^2}}$$

Возведем обе части в квадрат:

$$\frac{1}{x^2} = \frac{3}{75 + (x + 5)^2}$$

$$75 + (x + 5)^2 = 3x^2$$

$$75 + x^2 + 10x + 25 = 3x^2$$

$$100 + x^2 + 10x = 3x^2$$

$$2x^2 - 10x - 100 = 0$$

$$x^2 - 5x - 50 = 0$$

5. Решим квадратное уравнение для x:

$$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$$

$$x = \frac{5 \pm \sqrt{(-5)^2 - 4(1)(-50)}}{2(1)}$$

$$x = \frac{5 \pm \sqrt{25 + 200}}{2}$$

$$x = \frac{5 \pm \sqrt{225}}{2}$$

$$x = \frac{5 \pm 15}{2}$$

У нас два решения: x₁ = (5 + 15) / 2 = 10 и x₂ = (5 - 15) / 2 = -5. Отрицательное решение не подходит, так как длина не может быть отрицательной. Значит, BK = 10 см.

6. Найдем BC:

$$BC = BK + CK = 10 + 5 = 15$$

Ответ: 15 см