В прямоугольном треугольнике ABC к гипотенузе AC проведен серединный перпендикуляр. Точка пересечения этого перпендикуляра с катетом соединена с концом другого катета отрезком, который делит угол треугольника в отношении 4:7 (меньшая часть при катете). Найдите этот угол.

Решение:

Обозначим прямоугольный треугольник как \( \triangle ABC \), где \( \angle B = 90^{\circ} \). Гипотенуза — \( AC \).

Пусть \( M \) — середина гипотенузы \( AC \), и \( MK \) — серединный перпендикуляр к \( AC \), пересекающий катет \( BC \) в точке \( K \).

Так как \( MK \) — серединный перпендикуляр к \( AC \), то \( MK ⊥ AC \) и \( AM = MC \).

В прямоугольном треугольнике \( ABC \) медиана \( BM \) к гипотенузе равна половине гипотенузы, то есть \( BM = AM = MC \).

Рассмотрим \( \triangle KMC \). \( MC = MK \) (так как \( M \) — центр описанной окружности, и \( K \) лежит на ней, и \( MC \) — радиус). Следовательно, \( \triangle KMC \) — равнобедренный.

\( \angle MKC = \angle MCK = \angle C \).

Рассмотрим \( \triangle ABK \). \( BK \) — отрезок, соединяющий вершину \( B \) с точкой \( K \) на катете \( BC \).

Угол \( \angle ABC = 90^{\circ} \). Отрезок \( BK \) делит один из острых углов треугольника. По условию, точка пересечения серединного перпендикуляра с катетом соединена с концом другого катета отрезком, который делит угол треугольника в отношении 4:7. Это означает, что отрезок \( BK \) делит угол \( \angle ABC = 90^{\circ} \) на два угла, относящиеся как 4:7. Но это не так, потому что \( BK \) является частью катета.

Давайте переформулируем условие: серединный перпендикуляр к гипотенузе \( AC \) пересекает катет \( BC \) в точке \( K \). Точка \( K \) соединена с вершиной \( A \) отрезком \( AK \), который делит угол \( \angle BAC \) в отношении 4:7.

Пусть \( \angle C = \gamma \) и \( \angle A = \alpha \). Тогда \( \alpha + \gamma = 90^{\circ} \).

Так как \( \triangle KMC \) равнобедренный, \( \angle MKC = \angle C = \gamma \).

Угол \( \angle AKB \) является внешним углом \( \triangle KMC \), значит \( \angle AKB = \angle MKC + \angle MCK = \gamma + \gamma = 2\gamma \).

В \( \triangle ABK \), \( \angle BAK + \angle ABK + \angle AKB = 180^{\circ} \).

\( \angle ABK = 90^{\circ} \) (так как \( K \) лежит на катете \( BC \)).

\( \angle BAK + 90^{\circ} + 2\gamma = 180^{\circ} \)

\( \angle BAK = 90^{\circ} - 2\gamma \).

Мы знаем, что \( \angle BAC = \alpha \).

\( \angle BAC = \angle BAK + \angle KAC \)

\( \alpha = (90^{\circ} - 2\gamma) + \angle KAC \)

Так как \( \alpha + \gamma = 90^{\circ} \), то \( 90^{\circ} = \alpha + \gamma \).

\( \alpha = \alpha + \gamma - 2\gamma + \angle KAC \)

\( 0 = -\gamma + \angle KAC \)

\( \angle KAC = \gamma \).

Это означает, что \( AK \) является биссектрисой угла \( \angle BAC \). Но это противоречит условию, что \( AK \) делит угол в отношении 4:7.

Перечитываем условие: точка пересечения серединного перпендикуляра с катетом (пусть это катет BC, точка K) соединена с концом другого катета (точка A) отрезком AK. Этот отрезок AK делит угол треугольника (видимо, угол BAC) в отношении 4:7.

Итак, \( \angle BAC = \alpha \). Отрезок \( AK \) делит \( \angle BAC \) на два угла: \( \angle BAK \) и \( \angle KAC \).

Пусть \( \angle KAC = 4x \) и \( \angle BAK = 7x \). Тогда \( \alpha = \angle BAC = 4x + 7x = 11x \).

Из того, что \( MK \) — серединный перпендикуляр к \( AC \) и \( K \) лежит на \( BC \), следует, что \( \triangle KMC \) равнобедренный, и \( \angle MKC = \angle C = \gamma \).

В \( \triangle ABK \), \( \angle ABK = 90^{\circ} \).

\( \angle BKC \) — внешний угол \( \triangle ABK \), поэтому \( \angle BKC = \angle BAC + \angle ABK = \alpha + 90^{\circ} \). Это неверно, \( BKC \) не является внешним углом \( ABK \).

Рассмотрим \( \triangle ABK \). \( \angle AKB = 180^{\circ} - 90^{\circ} - \angle BAK = 90^{\circ} - 7x \).

Углы \( \angle AKB \) и \( \angle AKC \) — смежные. \( \angle AKC = 180^{\circ} - \angle AKB = 180^{\circ} - (90^{\circ} - 7x) = 90^{\circ} + 7x \).

В \( \triangle AKC \): \( \angle KAC + \angle KCA + \angle AKC = 180^{\circ} \).

\( 4x + \gamma + (90^{\circ} + 7x) = 180^{\circ} \)

\( 11x + \gamma + 90^{\circ} = 180^{\circ} \)

\( 11x + \gamma = 90^{\circ} \).

Мы также знаем, что \( \alpha + \gamma = 90^{\circ} \), и \( \alpha = 11x \).

\( 11x + \gamma = 90^{\circ} \).

Это два одинаковых уравнения, что означает, что мы можем найти \( \alpha \) и \( \gamma \), но нам нужно найти \( \alpha \) или \( \gamma \) отдельно.

Вернёмся к \( \triangle KMC \): \( \angle MKC = \gamma \). Угол \( \angle AKM \) и \( \angle MKC \) — смежные, но \( MK \) не лежит на \( AK \).

Проверим условие: серединный перпендикуляр к гипотенузе \( AC \) пересекает катет \( BC \) в точке \( K \).

\( MK ⊥ AC \) и \( MK = AM = MC \).

\( \triangle KMC \) равнобедренный, \( \angle MKC = \angle MCK = \angle C = \gamma \).

В \( \triangle ABK \): \( \angle B = 90^{\circ} \). \( \angle BKC = 180^{\circ} - \angle MKC = 180^{\circ} - \gamma \).

В \( \triangle ABK \): \( \angle BAC + \angle ABK + \angle AKB = 180^{\circ} \)

\( \alpha + 90^{\circ} + \angle AKB = 180^{\circ} \)

\( \angle AKB = 90^{\circ} - \alpha \).

Мы знаем, что \( \alpha = 11x \), следовательно \( \angle AKB = 90^{\circ} - 11x \).

Углы \( \angle BKC \) и \( \angle AKB \) — смежные, их сумма 180°.

\( (90^{\circ} - \alpha) + (180^{\circ} - \gamma) = 180^{\circ} \)

\( 90^{\circ} - \alpha + 180^{\circ} - \gamma = 180^{\circ} \)

\( 90^{\circ} - \alpha - \gamma = 0 \)

\( \alpha + \gamma = 90^{\circ} \). Это снова идентичное уравнение.

Возможная интерпретация: Отрезок, проведенный из точки K (на катете BC), соединяющий концы другого катета (A и C) -- это AC. Но AC - гипотенуза. Условие должно быть: точка K (на катете BC) соединена с концом другого катета (A) отрезком AK, который делит угол BAC.

Итак, \( \angle BAC = \alpha \), \( \angle C = \gamma \), \( \alpha + \gamma = 90^{\circ} \).

\( \angle KAC = 4x \), \( \angle BAK = 7x \). \( \alpha = 11x \).

Из \( \triangle KMC \): \( \angle MKC = \gamma \).

В \( \triangle ABK \): \( \angle B = 90^{\circ} \). \( \angle BAK = 7x \). \( \angle AKB = 90^{\circ} - 7x \).

\( \angle BKC = 180^{\circ} - \angle AKB = 180^{\circ} - (90^{\circ} - 7x) = 90^{\circ} + 7x \).

В \( \triangle AKC \): \( \angle KAC = 4x \), \( \angle KCA = \gamma \), \( \angle AKC = 180^{\circ} - \gamma \) (смежный с \( \angle BKC \)).

\( 4x + \gamma + (180^{\circ} - \gamma) = 180^{\circ} \)

\( 4x + 180^{\circ} = 180^{\circ} \)

\( 4x = 0 \) → \( x=0 \). Это невозможно.

Иная интерпретация: Отрезок, который делит угол треугольника. Возможно, угол C или угол A. Но в условии сказано 'угол треугольника'. Обычно это острый угол.

Ещё одна интерпретация: серединный перпендикуляр к гипотенузе AC пересекает катет BC в точке K. Точка K соединена с вершиной A. Этот отрезок AK делит угол BAC в отношении 4:7. Меньшая часть при катете. Это значит, что угол между AK и AB (точнее, катетом BA) составляет 7x, а угол между AK и AC составляет 4x. То есть \( \angle BAK = 7x \) и \( \angle KAC = 4x \). Это мы уже рассматривали.

Возможно, делит не угол BAC, а угол C?

Пусть \( \angle BK A = 4x \) и \( \angle AKC = 7x \). Тогда \( 4x + 7x = 180^{\circ} \), \( 11x = 180^{\circ} \), \( x = \frac{180}{11} \).

\( \angle BK A = 4 \cdot \frac{180}{11} = \frac{720}{11} \), \( \angle AKC = 7 \cdot \frac{180}{11} = \frac{1260}{11} \).

В \( \triangle ABK \): \( \angle BAC = 90^{\circ} - \angle AKB = 90^{\circ} - \frac{720}{11} = \frac{990 - 720}{11} = \frac{270}{11} \) (это \( \alpha \)).

\( \angle C = 90^{\circ} - \alpha = 90^{\circ} - \frac{270}{11} = \frac{990 - 270}{11} = \frac{720}{11} \) (это \( \gamma \)).

В \( \triangle KMC \): \( \angle MKC = \angle C = \gamma = \frac{720}{11} \).

\( \angle AKC = 180^{\circ} - \gamma = 180^{\circ} - \frac{720}{11} = \frac{1980 - 720}{11} = \frac{1260}{11} \).

Это соответствует \( 7x \).

Теперь проверим условие, что \( MK \) — серединный перпендикуляр. \( \angle MKC = \gamma \).

Так как \( MK ⊥ AC \), то \( \angle KMC = 90^{\circ} \) (если \( MK \) и \( AC \) перпендикулярны, а \( K \) на \( BC \) и \( M \) на \( AC \)). Это не верно. \( MK ⊥ AC \) означает, что угол между \( MK \) и \( AC \) равен 90°.

Пусть \( \angle C = \gamma \). Тогда \( \angle A = 90^{\circ} - \gamma \).

Так как \( \triangle KMC \) равнобедренный, \( \angle MKC = \gamma \).

В \( \triangle ABK \), \( \angle B = 90^{\circ} \). \( \angle BKC = 180^{\circ} - \gamma \).

\( \angle AKB = 180^{\circ} - (180^{\circ} - \gamma) = \gamma \). Это не так, \( \angle AKB \) и \( \angle BKC \) смежные.

\( \angle AKB = 180^{\circ} - \angle BKC = 180^{\circ} - (180^{\circ} - \gamma) = \gamma \). Опять \( \gamma \).

В \( \triangle ABK \): \( \angle BAK = 90^{\circ} - \angle AKB = 90^{\circ} - \gamma \). Это \( \angle A \).

Значит \( \alpha = \gamma \).

Это значит, что \( \triangle ABC \) равнобедренный (\( \angle A = \angle C = 45^{\circ} \)).

Тогда \( \angle BAC = 45^{\circ} \) и \( \angle C = 45^{\circ} \).

Отрезок \( AK \) делит \( \angle BAC = 45^{\circ} \) в отношении 4:7.

\( 4x + 7x = 45^{\circ} \)

\( 11x = 45^{\circ} \)

\( x = \frac{45}{11} \).

\( \angle BAK = 7x = 7 · \frac{45}{11} = \frac{315}{11} ≈ 28.6^{\circ} \)

\( \angle KAC = 4x = 4 · \frac{45}{11} = \frac{180}{11} ≈ 16.4^{\circ} \).

Если \( \alpha = \gamma = 45^{\circ} \), то \( MK \) является биссектрисой \( \angle BKC \) и медианой \( \triangle BKC \).

Давайте искать другую интерпретацию.

Серединный перпендикуляр к \( AC \) пересекает \( BC \) в точке \( K \). Отрезок \( AK \) делит \( \angle BAC \) на \( \angle BAK \) и \( \angle KAC \).

Пусть \( \angle C = \gamma \). Тогда \( \angle A = 90^{\circ} - \gamma \).

\( \triangle KMC \) равнобедренный, \( \angle MKC = \gamma \).

\( \angle BKC = 180^{\circ} - \gamma \).

\( \triangle ABK \): \( \angle BAK = 90^{\circ} - \angle AKB \).

\( \angle BKC \) внешний угол \( \triangle ABK \) => \( \angle BKC = \angle BAK + \angle ABK = \angle BAK + 90^{\circ} \).

\( 180^{\circ} - \gamma = \angle BAK + 90^{\circ} \)

\( \angle BAK = 90^{\circ} - \gamma \). Это \( \angle A \).

Это означает, что \( AK \) совпадает с \( AC \), что невозможно.

Ключевое свойство: точка K лежит на BC. Серединный перпендикуляр к AC. Пусть точка пересечения серединного перпендикуляра с AC - M. Тогда MK ⊥ AC. M - середина AC.

Рассмотрим \( \triangle AB C \). \( \angle B = 90^{\circ} \). \( \angle C = \gamma \), \( \angle A = \alpha \). \( \alpha + \gamma = 90^{\circ} \).

Серединный перпендикуляр к \( AC \) проходит через \( M \) (середина \( AC \)) и перпендикулярен \( AC \). Он пересекает \( BC \) в точке \( K \).

\( \triangle KMC \) — прямоугольный, \( \angle KMC = 90^{\circ} \). \( \angle MCK = \gamma \).

\( \angle MKC = 180^{\circ} - 90^{\circ} - \gamma = 90^{\circ} - \gamma = \alpha \).

Итак, \( \angle MKC = \alpha \).

Отрезок \( AK \) делит \( \angle BAC = \alpha \) на два угла: \( \angle BAK \) и \( \angle KAC \).

Пусть \( \angle KAC = 4x \) и \( \angle BAK = 7x \). \( \alpha = 11x \).

\( \angle BKC \) — внешний угол \( \triangle AKC \) по отношению к вершине \( K \), но это не так.

\( \angle BKC \) и \( \angle MKC \) — смежные. \( \angle BKC = 180^{\circ} - \angle MKC = 180^{\circ} - \alpha \).

В \( \triangle ABK \): \( \angle B = 90^{\circ} \). \( \angle BAK = 7x \). \( \angle AKB = 180^{\circ} - 90^{\circ} - 7x = 90^{\circ} - 7x \).

Сумма углов \( \angle AKB + \angle BKC = 180^{\circ} \)

\( (90^{\circ} - 7x) + (180^{\circ} - \alpha) = 180^{\circ} \)

\( 90^{\circ} - 7x - \alpha = 0 \)

\( \alpha = 90^{\circ} - 7x \).

Мы знаем, что \( \alpha = 11x \).

\( 11x = 90^{\circ} - 7x \)

\( 18x = 90^{\circ} \)

\( x = 5^{\circ} \).

Тогда \( \alpha = 11x = 11 · 5^{\circ} = 55^{\circ} \).

\( \gamma = 90^{\circ} - \alpha = 90^{\circ} - 55^{\circ} = 35^{\circ} \).

Проверим: \( \angle KAC = 4x = 4 · 5^{\circ} = 20^{\circ} \).

\( \angle BAK = 7x = 7 · 5^{\circ} = 35^{\circ} \).

\( \angle BAC = \angle BAK + \angle KAC = 35^{\circ} + 20^{\circ} = 55^{\circ} \). Это \( \alpha \).

\( \angle MKC = \alpha = 55^{\circ} \).

\( \angle BKC = 180^{\circ} - \alpha = 180^{\circ} - 55^{\circ} = 125^{\circ} \).

В \( \triangle KMC \), \( \angle KMC = 90^{\circ} \), \( \angle MCK = \gamma = 35^{\circ} \), \( \angle MKC = 55^{\circ} \).

\( 90^{\circ} + 35^{\circ} + 55^{\circ} = 180^{\circ} \). Верно.

Условие 'меньшая часть при катете' означает, что \( \angle KAC = 4x \) (меньший угол) находится ближе к катету \( AC \) (если бы \( K \) было на \( AB \)), но \( K \) на \( BC \). Меньшая часть угла \( \angle BAC \) — это \( \angle KAC \).

Значит, \( \angle KAC = 4x = 20^{\circ} \), \( \angle BAK = 7x = 35^{\circ} \).

Значит, угол \( \angle BAC = 55^{\circ} \).

Ответ: угол BAC равен 55°.