В прямоугольном треугольнике ABC катет AC = 55, а высота CH, опущенная на гипотенузу, равна 44. Найдите sin ∠ABC.

Пошаговое решение:

1. Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC. Угол C = 90°.
2. CH — высота, опущенная на гипотенузу AB.
3. Рассмотрим прямоугольный треугольник CHB. Угол CHB = 90°.
4. Углы ABC и ACH являются острыми углами в прямоугольных треугольниках ABC и ACH соответственно.
5. В треугольнике ABC: \( \sin(\angle ABC) = \frac{AC}{AB} \).
6. В треугольнике CHB: \( \sin(\angle BCH) = \frac{BH}{BC} \).
7. Рассмотрим подобие треугольников ABC и ACH: \( \angle ABC = \angle ACH \) и \( \angle BAC = \angle BCH \).
8. В прямоугольном треугольнике ACH: \( \sin(\angle ACH) = \frac{AH}{AC} \).
9. Из подобия \( \triangle ACH \sim \triangle CBH \), следует, что \( \frac{AC}{AB} = \frac{CH}{BC} \) и \( \frac{CH}{AH} = \frac{BH}{CH} \) (т.е. \( CH^2 = AH \cdot BH \)).
10. Рассмотрим прямоугольный треугольник ACH. По теореме Пифагора: \( AC^2 = AH^2 + CH^2 \).
11. \( 55^2 = AH^2 + 44^2 \)
12. \( 3025 = AH^2 + 1936 \)
13. \( AH^2 = 3025 - 1936 = 1089 \)
14. \( AH = \sqrt{1089} = 33 \).
15. Теперь мы можем найти \( \sin(\angle ABC) \) как \( \sin(\angle ACH) \) из \( \triangle ACH \):
16. \( \sin(\angle ACH) = \frac{AH}{AC} = \frac{33}{55} \).
17. Сокращаем дробь, разделив числитель и знаменатель на 11: \( \frac{33}{55} = \frac{3}{5} \).
18. Таким образом, \( \sin(\angle ABC) = \frac{3}{5} = 0.6 \).

Ответ: 0.6