В треугольнике ABC BM — медиана и BH — высота. Известно, что AC = 216, HC = 54 и ∠ACB = 40°. Найдите угол AMB. Ответ дайте в градусах.

Пошаговое решение:

1. Дано: \( \triangle ABC \), BM — медиана, BH — высота.
2. AC = 216, HC = 54, \( \angle ACB = 40^° \).
3. Так как BM — медиана, то M — середина AC.
4. AM = MC = AC / 2 = 216 / 2 = 108.
5. Мы знаем, что HC = 54.
6. HM = MC - HC = 108 - 54 = 54.
7. BH — высота, следовательно, \( \triangle BHC \) — прямоугольный треугольник с \( \angle BHC = 90^° \).
8. В \( \triangle BHC \): \( \tan(\angle BCH) = \frac{BH}{HC} \).
9. \( \tan(40^°) = \frac{BH}{54} \).
10. \( BH = 54 · \tan(40^°) \).
11. Рассмотрим \( \triangle BHM \). Это прямоугольный треугольник, так как BH — высота.
12. \( \angle BHM = 90^° \).
13. У нас есть BH и HM. Мы можем найти \( \tan(\angle AMB) \).
14. \( \tan(\angle AMB) = \frac{BH}{HM} = \frac{54 · \tan(40^°)}{54} = \tan(40^°) \).
15. Следовательно, \( \angle AMB = 40^° \).

Ответ: 40