Решение:

Обозначим углы треугольника ABC так: ∠A = α, ∠B = 90° - α. Так как M - середина AB и MN = AM, то треугольник AMN - равнобедренный с основанием AN. Значит, ∠MAN = ∠MNA = α.

По условию ∠CBN = 30°. Тогда в треугольнике ABC угол ∠ABC = 90°, поэтому ∠A = 90° - ∠B = 90° - 30° = 60°.

Таким образом, ∠A = α = 60°.

Треугольник AMN - равнобедренный, значит, AM = MN = 3. Так как M - середина AB, то AB = 2AM = 2 × 3 = 6.

Рассмотрим треугольник ABC. ∠B = 30°, AB = 6. Найдём BC:

$$BC = AB \cdot \cos{30°} = 6 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3}$$

Найдём AC:

$$AC = AB \cdot \sin{30°} = 6 \cdot \frac{1}{2} = 3$$

Так как N - середина DE, то MN - медиана треугольника CDE. В прямоугольном треугольнике медиана, проведённая к гипотенузе, равна половине гипотенузы. Значит, MN = NC = NE = 3.

Тогда DE = 2MN = 2 × 3 = 6.

Ответ: DE = 6.