В прямоугольном треугольнике ABC с прямым углом B проведена высота BH. AH = 36, CH = 25. Найдите: a) BH, AB, BC; б) $$S_{ACH} : S_{CBH}$$

Давай решим эту задачу вместе! У нас есть прямоугольный треугольник ABC с высотой BH, проведенной из вершины прямого угла B. Нам даны длины отрезков AH и CH, и нужно найти длины BH, AB, BC, а также отношение площадей треугольников ACH и CBH.

Решение:

a) Найдем BH, AB, BC:

1. Нахождение BH:

   Высота, проведенная из вершины прямого угла, делит треугольник на два подобных треугольника, каждый из которых подобен исходному. В нашем случае, треугольник ABH подобен треугольнику CBH. Это означает, что BH является средним геометрическим между AH и CH. То есть:

   $$BH = \sqrt{AH \cdot CH} = \sqrt{36 \cdot 25} = \sqrt{900} = 30$$

   Итак, BH = 30.

2. Нахождение AB:

   Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник ABH. В нем известны катеты AH и BH. По теореме Пифагора найдем гипотенузу AB:

   $$AB = \sqrt{AH^2 + BH^2} = \sqrt{36^2 + 30^2} = \sqrt{1296 + 900} = \sqrt{2196} = 6\sqrt{61}$$

   Итак, $$AB = 6\sqrt{61}$$.

3. Нахождение BC:

   Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник CBH. В нем известны катеты CH и BH. По теореме Пифагора найдем гипотенузу BC:

   $$BC = \sqrt{CH^2 + BH^2} = \sqrt{25^2 + 30^2} = \sqrt{625 + 900} = \sqrt{1525} = 5\sqrt{61}$$

   Итак, $$BC = 5\sqrt{61}$$.

б) Найдем отношение площадей $$S_{ACH} : S_{CBH}$$:

1. Площадь треугольника ACH:

   Площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту. В треугольнике ACH основание равно AH, а высота (опущенная на AH) является BH. Таким образом:

   $$S_{ACH} = \frac{1}{2} \cdot AH \cdot BH = \frac{1}{2} \cdot 36 \cdot 30 = 540$$

2. Площадь треугольника CBH:

   Аналогично, в треугольнике CBH основание равно CH, а высота (опущенная на CH) является BH. Таким образом:

   $$S_{CBH} = \frac{1}{2} \cdot CH \cdot BH = \frac{1}{2} \cdot 25 \cdot 30 = 375$$

3. Отношение площадей:

   Теперь найдем отношение площадей $$S_{ACH}$$ к $$S_{CBH}$$:

   $$\frac{S_{ACH}}{S_{CBH}} = \frac{540}{375} = \frac{36 \cdot 15}{25 \cdot 15} = \frac{36}{25}$$

   Итак, отношение площадей равно 36/25.

Ответ:

а) $$BH = 30$$, $$AB = 6\sqrt{61}$$, $$BC = 5\sqrt{61}$$;

б) $$S_{ACH} : S_{CBH} = 36:25$$.