6. В прямоугольном треугольнике $$ABC$$ с прямым углом $$C$$ проведена высота $$CH$$, причем $$CH = 8$$ см, $$\angle B = 45^\circ$$. Найдите гипотенузу $$AB$$.

В прямоугольном треугольнике $$ABC$$ с прямым углом $$C$$ и $$\angle B = 45^\circ$$, $$\angle A = 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ$$. Следовательно, треугольник $$ABC$$ равнобедренный, $$AC = BC$$. Рассмотрим треугольник $$BCH$$. Он прямоугольный, так как $$CH$$ - высота. $$\angle B = 45^\circ$$, значит, $$\angle BCH = 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ$$. Следовательно, треугольник $$BCH$$ равнобедренный, и $$BH = CH = 8$$ см. Так как $$\angle A = \angle B = 45^\circ$$, то $$AC = BC$$. В прямоугольном треугольнике высота, проведенная из вершины прямого угла к гипотенузе, делит гипотенузу пополам, если этот прямоугольный треугольник равнобедренный. Значит, $$CH$$ является и медианой, поэтому $$AH = BH = 8$$ см. $$AB = AH + BH = 8 + 8 = 16$$ см. Ответ: Гипотенуза $$AB$$ равна 16 см.