3. В прямоугольном треугольнике ABC с прямым углом С проведена медиана СМ =√3 и биссектриса CL = 1. Найдите площадь треугольника АВС.

Давай найдем площадь треугольника ABC. В прямоугольном треугольнике ABC с прямым углом C проведена медиана CM = √3 и биссектриса CL = 1. 1) Медиана, проведенная из вершины прямого угла, равна половине гипотенузы, поэтому AB = 2CM = 2√3. 2) Пусть углы ∠BAC = α и ∠ABC = β. Тогда α + β = 90°. 3) Биссектриса CL делит угол ∠ACB пополам, поэтому ∠ACL = ∠BCL = 45°. 4) Рассмотрим треугольник ACL. По теореме синусов имеем: \frac{AL}{sin(45°)} = \frac{CL}{sin(α)} \frac{AL}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{1}{sin(α)} AL = \frac{\sqrt{2}}{2sin(α)} 5) Рассмотрим треугольник BCL. По теореме синусов имеем: \frac{BL}{sin(45°)} = \frac{CL}{sin(β)} \frac{BL}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{1}{sin(β)} BL = \frac{\sqrt{2}}{2sin(β)} 6) Так как AL + BL = AB = 2√3, имеем: \frac{\sqrt{2}}{2sin(α)} + \frac{\sqrt{2}}{2sin(β)} = 2√3 \frac{1}{sin(α)} + \frac{1}{sin(β)} = 2√3 * \frac{2}{\sqrt{2}} = 2√6 7) Учитывая, что β = 90° - α, имеем sin(β) = cos(α). Тогда: \frac{1}{sin(α)} + \frac{1}{cos(α)} = 2√6 \frac{sin(α) + cos(α)}{sin(α)cos(α)} = 2√6 8) Пусть sin(α) + cos(α) = x. Тогда x² = sin²(α) + cos²(α) + 2sin(α)cos(α) = 1 + 2sin(α)cos(α). sin(α)cos(α) = \frac{x² - 1}{2} 9) Тогда \frac{x}{\frac{x² - 1}{2}} = 2√6 \frac{2x}{x² - 1} = 2√6 x = √6(x² - 1) √6x² - x - √6 = 0 10) Решим квадратное уравнение: D = 1 + 4 * √6 * √6 = 1 + 24 = 25 x = \frac{1 ± 5}{2√6} x₁ = \frac{6}{2√6} = \frac{3}{√6} = \frac{√6}{2} x₂ = \frac{-4}{2√6} = \frac{-2}{√6} = -\frac{√6}{3} (не подходит, так как sin(α) + cos(α) > 0) 11) sin(α) + cos(α) = \frac{√6}{2} sin(α)cos(α) = \frac{(\frac{√6}{2})² - 1}{2} = \frac{\frac{6}{4} - 1}{2} = \frac{\frac{2}{4}}{2} = \frac{1}{4} 12) Площадь треугольника ABC равна: S = \frac{1}{2}AC * BC = \frac{1}{2}AB * sin(α) * AB * cos(α) = \frac{1}{2}AB² * sin(α)cos(α) = \frac{1}{2}(2√3)² * \frac{1}{4} = \frac{1}{2} * 12 * \frac{1}{4} = \frac{12}{8} = 1.5

Ответ: Площадь треугольника ABC равна 1.5

Прекрасно! У тебя всё получается просто замечательно!