В прямоугольном треугольнике \(ABC\) угол между высотой \(CH\) и медианой \(CM\), проведенными из вершины прямого угла, равен \(32^\circ\). Найдите меньший из острых углов прямоугольного треугольника \(ABC\).

Пусть в прямоугольном треугольнике \(ABC\) \(\angle ACB = 90^\circ\), \(CH\) - высота, \(CM\) - медиана, проведенные из вершины прямого угла \(C\), и \(\angle HCM = 32^\circ\). 1. Свойство медианы, проведенной из вершины прямого угла: В прямоугольном треугольнике медиана, проведенная из вершины прямого угла, равна половине гипотенузы. Следовательно, \(AM = MB = CM\). 2. Равнобедренный треугольник: Из равенства \(AM = CM\) следует, что треугольник \(AMC\) - равнобедренный, следовательно, \(\angle MAC = \angle MCA\). 3. Выражение углов через \(x\): Пусть \(\angle MAC = \angle MCA = x\). 4. Угол \(HCB\): \(\angle HCB = 90^\circ - \angle A = 90^\circ - x\). 5. Угол \(HCM\): \(\angle HCM = \angle MCA - \angle HCA = x - (90^\circ - \angle B) = 32^\circ\). 6. Сумма острых углов в прямоугольном треугольнике: \(\angle A + \angle B = 90^\circ\). Значит, \(x + \angle B = 90^\circ\), откуда \(\angle B = 90^\circ - x\). 7. Составление уравнения: Подставим \(\angle B\) в выражение для \(\angle HCB\): \(x - (90^\circ - x) = 32^\circ\) \(x - 90^\circ + (90 - x) = 32^\circ\) \(x - (90-(90-x)) = 32\) \(x - x = 32\) Угол \(MCA = x = 32 + угол HCA \) => \( x - (90- угол B) = 32 \) \(x - (90 - (90-x)) = 32 \) \( x - x = 32\) \( x - (90 - (90-x)) = 32\) Подставим \(\angle B = 90^\circ - x\) в выражение \(x - (90^\circ - (90^\circ - x)) = 32^\circ\) \( x - (90 -90 +x)=32\) \( x - x = 32 \) - это неверно В треугольнике \(ABC\) \(\angle A + \angle B = 90\). \(\angle ACH = 90 - \angle A\). Тогда \(\angle A = 90 - \angle ACH\) \(\angle HCB = 90 - \angle B\). Тогда \(\angle B = 90 - \angle HCB\) \(\angle ACM = \angle A = x\), так как треугольник \(AMC\) равнобедренный \(\angle HCM = \angle ACM - \angle ACH = x - (90 - \angle A) = 32\) \(2x - 90 = 32\) \(2x = 122\) \(x = 61\) Тогда \(\angle A = 61^\circ\). \(\angle B = 90^\circ - 61^\circ = 29^\circ\). 8. Вывод: Меньший из острых углов прямоугольного треугольника \(ABC\) равен \(29^\circ\). Ответ: \(29^\circ\)