В прямоугольном треугольнике ACB (∠C = 90°) проведена высота CD. Гипотенуза АВ = 6. ∠CBA = 30°. Найдите BD.

Решение:

В прямоугольном треугольнике ABC, ∠C = 90°, ∠CBA = 30°, AB = 6. CD — высота.

1. Рассмотрим треугольник ABC.

У нас есть гипотенуза AB и острый угол ∠CBA. Чтобы найти катет BC, используем косинус:

\[ \cos(\angle CBA) = \frac{BC}{AB} \]

\[ \cos(30^\circ) = \frac{BC}{6} \]

Так как \( \cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2} \), то:

\[ \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{BC}{6} \]

\[ BC = 6 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3} \]

2. Рассмотрим прямоугольный треугольник CDB.

У нас есть гипотенуза BC и острый угол ∠CBA (так как CD — высота, то ∠CDB = 90°, а ∠CBA является общим для треугольников ABC и CDB).

Чтобы найти катет BD, используем косинус:

\[ \cos(\angle CBA) = \frac{BD}{BC} \]

\[ \cos(30^\circ) = \frac{BD}{3\sqrt{3}} \]

\[ \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{BD}{3\sqrt{3}} \]

\[ BD = 3\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3 \cdot 3}{2} = \frac{9}{2} = 4.5 \]

Альтернативный способ:

В прямоугольном треугольнике ABC, ∠C = 90°, ∠CBA = 30°, AB = 6. CD — высота.

Катет, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы.

В треугольнике ABC, катет BC лежит против угла ∠BAC. Чтобы найти ∠BAC: \( \angle BAC = 180^\circ - 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ \).

Значит, BC = AB / 2 * sin(60) = 6 * (sqrt(3)/2) = 3*sqrt(3). Это не то, что нам нужно. Нам нужно найти BD.

В прямоугольном треугольнике CDB, ∠CDB = 90°, ∠CBD = 30°. BD является катетом, прилежащим к углу 30°.

Катет BC является гипотенузой для треугольника CDB.

Из треугольника ABC, BC = AB * cos(30°) = 6 * (sqrt(3)/2) = 3*sqrt(3).

Теперь в треугольнике CDB:

BD = BC * cos(30°) = 3*sqrt(3) * (sqrt(3)/2) = 3 * 3 / 2 = 9/2 = 4.5.

Ответ: BD = 4.5