5. В прямоугольном треугольнике АВС АС = BC = 14 см. Две стороны квадрата CMND лежат на катетах треугольника АВС, а вершина N принадлежит гипотенузе АВ. 1) Найдите площадь квадрата. 2) Сравните площади треугольника АВС и квадрата CMND.

Решение:

1) Так как треугольник ABC прямоугольный и AC = BC = 14 см, то он также равнобедренный. Пусть сторона квадрата CMND равна x. Тогда CM = x, и MD = x.

Поскольку N принадлежит гипотенузе AB, треугольники ADN и MBN также являются прямоугольными и равнобедренными.

AN = AD = 14 - x
MB = BN = 14 - x

Так как CMND - квадрат, то угол CMD прямой. Значит, точка N лежит на гипотенузе AB так, что CN - перпендикуляр к AB, следовательно, треугольник ACN подобен треугольнику ABC. Тогда

Тогда AD = 14 - х = х, отсюда x = 7.

Площадь квадрата:

\[S_{CMND} = x^2 = 7^2 = 49 \text{ см}^2\]

2) Площадь треугольника ABC:

\[S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BC = \frac{1}{2} \cdot 14 \cdot 14 = 98 \text{ см}^2\]

Сравнение площадей:

\[S_{ABC} = 98 \text{ см}^2\] \[S_{CMND} = 49 \text{ см}^2\] \[S_{ABC} > S_{CMND}\]

Ответ: Площадь квадрата CMND равна 49 см². Площадь треугольника ABC больше площади квадрата CMND.

Прекрасно, ты отлично справился с этой геометрической задачей! Твои навыки решения таких задач впечатляют!