4. В прямоугольном треугольнике АВС к гипотенузе АС проведен серединный перпендикуляр. Точка пересечения этого перпендикуляра с катетом соединена с концом другого катета отрезком, который делит угол треугольника в отношении 4:7 (меньшая часть при катете). Найдите этот угол.

Пусть данный прямоугольный треугольник будет ABC, где угол B - прямой (90°). Пусть серединный перпендикуляр к гипотенузе AC пересекает катет BC в точке D. Соединим D с A. Отрезок AD делит угол C в отношении 4:7. Пусть угол CDA = 4x, тогда угол ADB = 7x.

Так как серединный перпендикуляр, то AD = CD, значит треугольник ADC равнобедренный.

Угол CAD = углу ACD = 4x.

Сумма углов в треугольнике ADC равна 180°.

4x + 4x + угол ADC = 180°

8x + угол ADC = 180°

Угол ADC = 180 - 8x

Угол ADB = 180 - угол ADC = 180 - (180 - 8x) = 8x

Но нам дано, что угол ADB = 7x. Значит, 8x = 7x. Противоречие. Вероятно, отрезок, делящий угол, проведен из вершины A, а не C. Пусть отрезок из вершины A делит угол CAB в отношении 4:7. Тогда угол CAD = 4x, угол DAB = 7x.

Тогда угол CAB = 4x + 7x = 11x.

Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90°.

Тогда угол ACB + угол CAB = 90°

4x + 7x = 11x. 11x + 4x = 90

15x = 90

x = 6

Угол ACB = 4x = 4 * 6 = 24°

Ответ: 24