2. В прямоугольном треугольнике АВС катет АС = 65, а высота СН, опущенная на гипотенузу, равна 52. Найдите sin ∠ABC.

Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC (∠C = 90°). Дано: AC = 65, CH = 52. Нужно найти sin ∠ABC.

1. Выразим площадь треугольника ABC двумя способами:

• $$S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BC$$
• $$S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot CH$$

Следовательно, $$\frac{1}{2} \cdot AC \cdot BC = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot CH$$

$$AC \cdot BC = AB \cdot CH$$

2. Выразим синус угла B:

$$sin∠ABC = \frac{AC}{AB}$$

Нужно найти отношение AC/AB. Выразим его из равенства площадей:

$$\frac{AC}{AB} = \frac{CH}{BC}$$

$$sin∠ABC = \frac{CH}{BC} = \frac{52}{BC}$$

3. Найдём BC по теореме Пифагора из треугольника BHC (прямоугольный, ∠H = 90°):

$$BC^2 = BH^2 + CH^2$$

4. Выразим BH из треугольника ABH:

$$AB^2 = AH^2 + BH^2$$

$$AH = \sqrt{AB^2 - BH^2}$$

5. Выразим AH из треугольника AHC:

$$AC^2 = AH^2 + CH^2$$

$$AH = \sqrt{AC^2 - CH^2} = \sqrt{65^2 - 52^2} = \sqrt{4225 - 2704} = \sqrt{1521} = 39$$

6. Выразим AB из треугольника AHC:

По теореме Пифагора: $$AB^2 = AC^2 + BC^2$$

Также можем выразить AB через площадь: $$AB = \frac{AC \cdot BC}{CH} = \frac{65 \cdot BC}{52} = \frac{5}{4}BC$$

Тогда: $$\left(\frac{5}{4}BC\right)^2 = 65^2 + BC^2$$

$$\frac{25}{16}BC^2 = 65^2 + BC^2$$

$$\frac{9}{16}BC^2 = 65^2$$

$$BC^2 = \frac{16}{9} \cdot 65^2$$

$$BC = \sqrt{\frac{16}{9} \cdot 65^2} = \frac{4}{3} \cdot 65 = \frac{260}{3}$$

7. Найдём sin∠ABC:

$$sin∠ABC = \frac{52}{BC} = 52 ∶ \frac{260}{3} = \frac{52 \cdot 3}{260} = \frac{3}{5} = 0.6$$

Ответ: 0.6