113 В прямоугольном треугольнике АВС с катетами АС = 24 см и ВС = 36 см проведены медианы АМ и ВЕ, пересекающиеся в точке О. Найдите длины от- резков АО и ОМ. Решение. Отрезок АМ ника АВС, значит, СМ = CB =

Решение:

1) Рассмотрим прямоугольный треугольник АВС. Медиана АМ делит сторону СВ пополам, значит, СМ = СВ/2 = 36/2 = 18 см.

2) Найдем длину медианы АМ по теореме Пифагора:

$$ AМ = \sqrt{AC^2 + CM^2} = \sqrt{24^2 + 18^2} = \sqrt{576 + 324} = \sqrt{900} = 30 \text{ см} $$

3) Медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся ею в отношении 2:1, считая от вершины. Следовательно:

$$ AO = \frac{2}{3} AM = \frac{2}{3} \cdot 30 = 20 \text{ см} $$ $$ OM = \frac{1}{3} AM = \frac{1}{3} \cdot 30 = 10 \text{ см} $$

Ответ: АО = 20 см, ОМ = 10 см.