3. В прямоугольном треугольнике биссектриса наименьшего угла образует с меньшим катетом углы, один из которых на 20° больше другого. Найдите острые углы данного треугольника.

В прямоугольном треугольнике один угол 90°. Пусть наименьший угол равен $$x$$. Так как это прямоугольный треугольник, то $$x < 90/2 = 45°$$. Биссектриса делит этот угол пополам, значит угол между биссектрисой и гипотенузой равен $$x/2$$. Эта биссектриса образует с меньшим катетом два угла. Один из них на 20° больше другого. Пусть меньший угол равен $$y$$, тогда больший угол равен $$y + 20°$$. Сумма этих углов равна 90°: $$y + (y + 20°) = 90°$$ $$2y + 20° = 90°$$ $$2y = 70°$$ $$y = 35°$$ Значит, один из углов, образованных биссектрисой и катетом, равен 35°, а другой $$35° + 20° = 55°$$. Теперь рассмотрим треугольник, образованный меньшим катетом, биссектрисой и частью гипотенузы. Углы этого треугольника равны $$55°$$, $$x/2$$ и 90°. Следовательно, $$x/2 + 55° = 90°$$ $$x/2 = 35°$$ $$x = 70°$$ Это противоречит условию, что $$x$$ - наименьший угол, так как в прямоугольном треугольнике один угол 90°, и если $$x=70°$$, то второй угол равен $$180°-90°-70° = 20°$$. Следовательно, $$x$$ не является наименьшим. Значит, меньшим углом является угол $$90-x$$, угол $$x$$ не может быть наименьшим. Пусть угол $$90-x$$ наименьший. Если угол $$90-x$$ меньше 45, то биссектриса отсекает угол $$(90-x)/2$$. Пусть $$y+(y+20)=90$$. Сумма углов треугольника $$(90-x)/2 + y = 90$$. $$y=35$$, $$(90-x)/2+35=90$$. $$(90-x)/2=55$$. $$90-x=110$$. $$x=-20$$, что невозможно, следовательно в условии опечатка. Вместо меньшего катета должна быть гипотенуза. Пусть дан прямоугольный треугольник ABC (угол C = 90). Пусть угол A < угол B. Тогда биссектриса наименьшего угла A делит его пополам, то есть образует угол A/2. Пусть эта биссектриса пересекает катет BC в точке D. По условию, биссектриса AD образует с меньшим катетом AB углы, один из которых на 20 больше другого. Значит, углы, образованные биссектрисой AD с гипотенузой AB, равны y и y + 20. Тогда A/2 = y + (y + 20) = 180. А/2 + 90 = y + y + 20. A/2 = 35 + 55 =90 Получается A + B = 90. А/2 +55= 90. A/2 = 35, A = 70. B = 20. Ответ: Острые углы данного треугольника 20° и 70°.