195. В прямоугольном треугольнике DEF DE = EF, М – середина DE. Через точку М проведена прямая, перпендикулярная катету DE, пересекаю- щая гипотенузу DF в точке К, МК = 9 см. Найти длину катета DE.

Рассмотрим прямоугольный треугольник DEF, в котором DE = EF. M - середина DE. Через точку M проведена прямая, перпендикулярная катету DE, пересекающая гипотенузу DF в точке K, MK = 9 см. Необходимо найти длину катета DE.

Так как DE = EF, треугольник DEF является равнобедренным прямоугольным треугольником. Следовательно, углы при гипотенузе равны 45° (∠D = ∠F = 45°).

MK перпендикулярна DE, значит, MK - высота треугольника DKE. Так как угол D равен 45°, то треугольник DKE также является равнобедренным прямоугольным треугольником (∠D = ∠MKE = 45°).

Следовательно, DK = MK = 9 см.

Так как M - середина DE, то DM = ME.

Рассмотрим треугольники DMK и FKE. Угол D = углу F = 45°. Угол DMK = углу MKE = 90°.

Т.к. треугольник DEF равнобедренный, то DE = EF.

Т.к. MK - высота и медиана (так как K - середина DF), то DK = KF = 9 см.

Тогда DF = DK + KF = 9 + 9 = 18 см.

В прямоугольном равнобедренном треугольнике DEF гипотенуза DF связана с катетом DE соотношением: $$DF = DE \cdot \sqrt{2}$$.

Выразим катет: $$DE = \frac{DF}{\sqrt{2}} = \frac{18}{\sqrt{2}} = \frac{18 \sqrt{2}}{2} = 9\sqrt{2}$$ см.

Т.к. М - середина DE, то DM = ME = 1/2 DE.

В треугольнике DMK: DM = MK, значит, DM = 9 см.

DE = 2 * DM = 2 * 9 = 18 см.

Ответ: DE = 18 см.