В прямоугольном треугольнике из вершины угла, равного 60°, проведена биссектриса, длина которой равна 18 см. Найдите длину катета, лежащего против данного угла.

Задача: В прямоугольном треугольнике с углом 60° проведена биссектриса этого угла, равная 18 см. Найти длину катета, лежащего напротив угла 60°. Решение: 1. Обозначения: * Пусть \(ABC\) – прямоугольный треугольник, где \(\angle C = 90^\circ\). * \(\angle A = 60^\circ\). * \(BL\) – биссектриса угла \(\angle B\), и \(BL = 18\) см. * Нужно найти длину катета \(BC\). 2. Углы в треугольнике: * Так как \(\angle A = 60^\circ\) и \(\angle C = 90^\circ\), то \(\angle B = 180^\circ - 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ\). * Так как \(BL\) – биссектриса угла \(\angle B\), то \(\angle ABL = \angle LBC = \frac{30^\circ}{2} = 15^\circ\). 3. Рассмотрим треугольник \(ABL\): * \(\angle A = 60^\circ\), \(\angle ABL = 15^\circ\), следовательно, \(\angle ALB = 180^\circ - 60^\circ - 15^\circ = 105^\circ\). 4. Применим теорему синусов для треугольника \(ABL\): \[\frac{BL}{\sin A} = \frac{AL}{\sin \angle ABL}\] \[\frac{18}{\sin 60^\circ} = \frac{AL}{\sin 15^\circ}\] \[AL = \frac{18 \cdot \sin 15^\circ}{\sin 60^\circ}\] 5. Выразим \(\sin 15^\circ\) и \(\sin 60^\circ\): * \(\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}\). * \(\sin 15^\circ = \sin (45^\circ - 30^\circ) = \sin 45^\circ \cos 30^\circ - \cos 45^\circ \sin 30^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}\). 6. Подставим значения: \[AL = \frac{18 \cdot \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{18 \cdot (\sqrt{6} - \sqrt{2})}{4} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{9(\sqrt{6} - \sqrt{2})}{\sqrt{3}} = 9(\sqrt{2} - \frac{\sqrt{6}}{3})\] 7. Рассмотрим треугольник \(BLC\): * \(\angle LBC = 15^\circ\), \(\angle C = 90^\circ\), следовательно, \(\angle BLC = 180^\circ - 90^\circ - 15^\circ = 75^\circ\). * \(\frac{BC}{BL} = \sin 15\degree\) => \(BC= BL \cdot cos(15)\degree\) * \(BC= 18 \cdot sin(75)\degree\) 8. Найдем сторону LC, чтобы AC = AL + LC * \(\frac{LC}{BL} = cos(15)\degree\) => \(LC = BL \cdot cos(15)\degree = 18*\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} = \frac{9(\sqrt{6} + \sqrt{2})}{2}\) 9. Найдем AC * \(AC = AL + LC = 9(\sqrt{2} - \frac{\sqrt{6}}{3}) + \frac{9(\sqrt{6} + \sqrt{2})}{2} = 9\sqrt{2} - 3\sqrt{6} + \frac{9\sqrt{6}}{2} + \frac{9\sqrt{2}}{2} = \frac{27\sqrt{2}}{2} + \frac{3\sqrt{6}}{2}\) 10. Далее находим BC через тангенс 60 или котангенс 30: \(BC = AC \cdot tg(30) = AC \cdot \frac{\sqrt{3}}{3}\) 11. Финальный расчет: \(BC = AC \cdot \frac{\sqrt{3}}{3} = (\frac{27\sqrt{2}}{2} + \frac{3\sqrt{6}}{2}) \cdot \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{9\sqrt{6}}{2} + \frac{3\sqrt{18}}{6} = \frac{9\sqrt{6}}{2} + \frac{9\sqrt{2}}{2} = \frac{9}{2}(\sqrt{6} + \sqrt{2}) \approx 15.49\) Ответ: Длина катета, лежащего против угла 60°, составляет \(\frac{9}{2}(\sqrt{6} + \sqrt{2})\) см, что приблизительно равно 15.49 см.