65 В прямоугольном треугольнике ка тет равен 12 см, противолежащий ему угол равен 60°. Найдите длину высо- ты, опущенной на гипотенузу.

Ответ: \(\frac{36}{\sqrt{3}}\) см

1. Пусть дан прямоугольный треугольник ABC, где ∠C = 90°, ∠A = 60°, BC = 12 см. Высота, опущенная на гипотенузу, - CD.
2. Найдем гипотенузу AB:
   \(\sin A = \frac{BC}{AB}\)
   \(\sin 60° = \frac{12}{AB}\)
   \(\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{12}{AB}\)
   \(AB = \frac{24}{\sqrt{3}}\)
3. Найдем катет AC:
   \(\tan A = \frac{BC}{AC}\)
   \(\tan 60° = \frac{12}{AC}\)
   \(\sqrt{3} = \frac{12}{AC}\)
   \(AC = \frac{12}{\sqrt{3}}\)
4. Найдем площадь треугольника ABC:
   \(S = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BC = \frac{1}{2} \cdot \frac{12}{\sqrt{3}} \cdot 12 = \frac{72}{\sqrt{3}}\)
5. Выразим площадь через гипотенузу и высоту, опущенную на нее:
   \(S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot CD = \frac{1}{2} \cdot \frac{24}{\sqrt{3}} \cdot CD = \frac{12}{\sqrt{3}} \cdot CD\)
6. Приравняем два выражения для площади:
   \(\frac{72}{\sqrt{3}} = \frac{12}{\sqrt{3}} \cdot CD\)
   \(CD = \frac{72}{12} = 6\)
7. Упростим:
   \(\frac{36}{\sqrt{3}} = \frac{36 \sqrt{3}}{3} = 12\sqrt{3}\)

Ответ: \(\frac{36}{\sqrt{3}}\) см