В прямоугольном треугольнике медиана, проведенная к гипотенузе, делит прямой угол на два угла, один из которых в 4 раза меньше другого. Найдите острые углы данного треугольника.

Пусть в прямоугольном треугольнике ABC угол C прямой (90°). Медиана, проведенная из вершины C к гипотенузе AB, делит угол C на два угла: ∠ACM и ∠BCM. Из условия задачи известно, что один из этих углов в 4 раза меньше другого. Пусть ∠ACM = x, тогда ∠BCM = 4x. Сумма этих углов равна 90°, так как медиана делит прямой угол: $$x + 4x = 90°$$ $$5x = 90°$$ $$x = \frac{90°}{5} = 18°$$ Следовательно, ∠ACM = 18°, а ∠BCM = 4 * 18° = 72°. Так как медиана, проведенная к гипотенузе прямоугольного треугольника, равна половине гипотенузы, то треугольник AMC равнобедренный (AM = MC), и треугольник BMC также равнобедренный (BM = MC). Следовательно, углы при основании этих треугольников равны: ∠MAC = ∠ACM = 18° ∠MBC = ∠BCM = 72° Теперь мы знаем два острых угла треугольника ABC: ∠A = 18° ∠B = 72° Ответ: Острые углы данного треугольника равны 18° и 72°.