В прямоугольном треугольнике один из катетов на 2 см меньше гипотенузы, а другой – на 25 см меньше гипотенузы. Найдите гипотенузу. Ответ дайте в сантиметрах.

Пусть (c) - гипотенуза, (a) и (b) - катеты. По условию задачи: (a = c - 2) (b = c - 25) По теореме Пифагора: (a^2 + b^2 = c^2) Подставим значения (a) и (b) в уравнение: ((c - 2)^2 + (c - 25)^2 = c^2) Раскроем скобки: (c^2 - 4c + 4 + c^2 - 50c + 625 = c^2) (2c^2 - 54c + 629 = c^2) Перенесем все члены в левую часть: (c^2 - 54c + 629 = 0) Решим квадратное уравнение. Дискриминант: (D = (-54)^2 - 4 cdot 1 cdot 629 = 2916 - 2516 = 400) Найдем корни: (c_1 = rac{54 + sqrt{400}}{2} = rac{54 + 20}{2} = rac{74}{2} = 37) (c_2 = rac{54 - sqrt{400}}{2} = rac{54 - 20}{2} = rac{34}{2} = 17) Проверим корни: Если (c = 17), то (b = c - 25 = 17 - 25 = -8). Это невозможно, так как длина катета не может быть отрицательной. Если (c = 37), то (a = c - 2 = 37 - 2 = 35) и (b = c - 25 = 37 - 25 = 12). Проверим теорему Пифагора для (c = 37), (a = 35), (b = 12): (35^2 + 12^2 = 1225 + 144 = 1369) (37^2 = 1369) Следовательно, (c = 37) является верным решением. Ответ: 37 Разъяснение для ученика: 1. Внимательно читаем условие задачи. Нам дан прямоугольный треугольник, где один катет на 2 см меньше гипотенузы, а другой на 25 см меньше гипотенузы. Нужно найти длину гипотенузы. 2. Обозначаем неизвестные. Пусть гипотенуза равна (c). Тогда первый катет (a = c - 2), а второй катет (b = c - 25). 3. Применяем теорему Пифагора. Для прямоугольного треугольника выполняется равенство (a^2 + b^2 = c^2). 4. Подставляем значения в теорему. Подставляем выраженные значения катетов через гипотенузу: ((c - 2)^2 + (c - 25)^2 = c^2). 5. Решаем уравнение. Раскрываем скобки и упрощаем уравнение. В итоге получаем квадратное уравнение (c^2 - 54c + 629 = 0). 6. Находим корни квадратного уравнения. Считаем дискриминант (D = 400) и находим два корня: (c_1 = 37) и (c_2 = 17). 7. Проверяем корни. Корень (c = 17) не подходит, так как в этом случае один из катетов будет отрицательным, что невозможно. Корень (c = 37) подходит, так как оба катета будут положительными. 8. Записываем ответ. Гипотенуза равна 37 см. Поэтому, ответ: 37.