В прямоугольном треугольнике угол А равен 30°, гипотенуза АВ = 34 см, а высота, опущенная на гипотенузу, равна 15 см. Вычисли периметр треугольника.

Для решения задачи необходимо найти катеты прямоугольного треугольника, а затем вычислить периметр.

Обозначим катеты прямоугольного треугольника как AC и BC. Высота, опущенная на гипотенузу, делит прямоугольный треугольник на два подобных прямоугольных треугольника. Площадь прямоугольного треугольника можно вычислить двумя способами: как половину произведения катетов и как половину произведения гипотенузы на высоту, опущенную на гипотенузу.

1. Выразим площадь треугольника через катеты и гипотенузу, используя высоту:

$$S = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BC = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot h$$

2. Подставим известные значения: AB = 34 см, h = 15 см:

$$\frac{1}{2} \cdot AC \cdot BC = \frac{1}{2} \cdot 34 \cdot 15$$

$$AC \cdot BC = 34 \cdot 15 = 510$$

3. Используем соотношение сторон в прямоугольном треугольнике с углом 30°:

В прямоугольном треугольнике против угла в 30° лежит катет, равный половине гипотенузы. Значит, BC (катет, лежащий против угла A=30°) = \(\frac{1}{2}\) AB.

$$BC = \frac{1}{2} \cdot 34 = 17 \text{ см}$$

4. Найдем катет AC, используя найденное значение BC:

$$AC = \frac{510}{BC} = \frac{510}{17} = 30 \text{ см}$$

5. Вычислим периметр треугольника:

$$P = AB + AC + BC = 34 + 30 + 17 = 81 \text{ см}$$

Ответ: 81 см