4.В прямоугольной трапеции ABCD (BC = AD, < A = 90), АВ = 4 см, ВС = 7 см, AD= 9 см. Найдите синус, косинус, тангенс и котангенс угла D трапеции.

Ответ: \( sin D = \frac{2\sqrt{5}}{5}; cos D = \frac{\sqrt{5}}{5}; tg D = 2; ctg D = \frac{1}{2} \)

1. Проведем высоту CH из вершины C к основанию AD.
2. Тогда AH = AD - BC = 9 - 7 = 2 см.
3. Рассмотрим прямоугольный треугольник CHD. CD - гипотенуза, CH - катет, DH = AB = 4 см.
4. Найдем гипотенузу CD по теореме Пифагора: \[CD = \sqrt{CH^2 + DH^2} = \sqrt{4^2 + 2^2} = \sqrt{16 + 4} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}\]
5. Теперь найдем синус, косинус, тангенс и котангенс угла D:
   • Синус угла D: \[sin D = \frac{CH}{CD} = \frac{4}{2\sqrt{5}} = \frac{2}{\sqrt{5}} = \frac{2\sqrt{5}}{5}\]
   • Косинус угла D: \[cos D = \frac{DH}{CD} = \frac{2}{2\sqrt{5}} = \frac{1}{\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5}}{5}\]
   • Тангенс угла D: \[tg D = \frac{CH}{DH} = \frac{4}{2} = 2\]
   • Котангенс угла D: \[ctg D = \frac{DH}{CH} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}\]

Ответ: \( sin D = \frac{2\sqrt{5}}{5}; cos D = \frac{\sqrt{5}}{5}; tg D = 2; ctg D = \frac{1}{2} \)