18. В прямоугольной трапеции ABCD с основаниями AD и BC диагональ AC является биссектрисой угла A, величина которого равна 45°. Найдите длину диагонали BD, если меньшее основание трапеции равно \(9\sqrt{2}\).

Поскольку AC - биссектриса угла A, а угол A равен 45°, то угол CAD = углу BAC = 22.5°. Так как трапеция прямоугольная, угол ABC = 90°. Пусть BC = \(9\sqrt{2}\). В прямоугольной трапеции ABCD, угол BAD = 45°, значит угол CDA = 135°. Рассмотрим треугольник ABC. Угол BAC = 22.5°, угол ABC = 90°, тогда угол ACB = 180° - 90° - 22.5° = 67.5°. По условию, BC - меньшее основание, следовательно, BC = \(9\sqrt{2}\). Поскольку ABCD - прямоугольная трапеция, опустим высоту из вершины C на основание AD. Обозначим основание высоты точкой H. Тогда CH = BC = \(9\sqrt{2}\). В прямоугольном треугольнике AHC угол CAH = 22.5°. Тогда AH = CH = \(9\sqrt{2}\). Так как угол BAD = 45°, то трапеция равнобедренная, и AD = AH + HD. HD = BC = \(9\sqrt{2}\). Следовательно, AD = AH + HD = \(9\sqrt{2} + 9\sqrt{2} = 18\sqrt{2}\). Рассмотрим прямоугольный треугольник ABD. AD = \(18\sqrt{2}\), AB = \(9\sqrt{2}\). По теореме Пифагора, BD = \(\sqrt{AB^2 + AD^2} = \sqrt{(9\sqrt{2})^2 + (18\sqrt{2})^2} = \sqrt{162 + 648} = \sqrt{810} = 9\sqrt{10}\). Ответ: \(9\sqrt{10}\)