9. В треугольнике ABC угол C равен 90°, CH - высота, AB = 100, \(\sin A = \frac{4}{5}\). Найдите длину отрезка AH.

Для решения этой задачи нам понадобятся знания тригонометрии и свойств прямоугольных треугольников. 1. В прямоугольном треугольнике ABC синус угла A равен отношению противолежащего катета (BC) к гипотенузе (AB). \(\sin A = \frac{BC}{AB} = \frac{4}{5}\) 2. Так как AB = 100, можем найти BC: \(BC = AB \cdot \sin A = 100 \cdot \frac{4}{5} = 80\) 3. По теореме Пифагора найдем AC: \(AC = \sqrt{AB^2 - BC^2} = \sqrt{100^2 - 80^2} = \sqrt{10000 - 6400} = \sqrt{3600} = 60\) 4. Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник ACH. Косинус угла A равен отношению прилежащего катета (AH) к гипотенузе (AC). \(\cos A = \frac{AH}{AC}\) 5. Найдем косинус угла A, зная синус: \(\cos A = \sqrt{1 - \sin^2 A} = \sqrt{1 - (\frac{4}{5})^2} = \sqrt{1 - \frac{16}{25}} = \sqrt{\frac{9}{25}} = \frac{3}{5}\) 6. Теперь найдем AH: \(AH = AC \cdot \cos A = 60 \cdot \frac{3}{5} = 36\) Ответ: 36