В прямоугольной трапеции АBCD с основаниями AD и BC диагональ АС является биссектрисой угла А, равного 45°. Найдите длину диагонали BD, если меньшее основание трапеции равно 7√2.

Разбираемся:

1. Обозначим меньшее основание трапеции BC = 7√2. Так как AC - биссектриса угла A, то ∠BAC = ∠CAD = 45° / 2 = 22.5°.
2. Поскольку трапеция прямоугольная, ∠ABC = 90°. Тогда ∠ACB = 90° - ∠BAC = 90° - 22.5° = 67.5°.
3. В прямоугольной трапеции ABCD ∠BAD = 45°, ∠CDA = 135° (т.к. сумма углов прилежащих к боковой стороне трапеции равна 180°). Проведем высоту CH к основанию AD. Тогда CH = AB.
4. Рассмотрим треугольник ABC. ∠BAC = 22.5°, ∠ABC = 90°, BC = 7√2. Тогда AB = BC \cdot tg(∠ACB) = 7√2 \cdot tg(67.5°).
5. Так как ∠CAD = ∠BCA (накрест лежащие углы), то ∠CAD = 67.5°. Следовательно, AD = AC.
6. Теперь рассмотрим треугольник ABD. В нём известны стороны AB и AD, а также угол между ними ∠BAD = 45°. Используем теорему косинусов для нахождения BD: BD² = AB² + AD² - 2 \cdot AB \cdot AD \cdot cos(∠BAD).
7. Учитывая, что AC - биссектриса угла A, а ∠A = 45°, получаем ∠BAC = ∠DAC = 22.5°. Так как BC || AD, то ∠BCA = ∠DAC = 22.5°. Следовательно, треугольник ABC равнобедренный, и AB = BC = 7√2.
8. Проведем высоту CK из точки C к основанию AD. Тогда AK = BC = 7√2. Рассмотрим прямоугольный треугольник ACK. ∠CAK = 22.5°, CK = AB = 7√2. Тогда AK = CK \cdot ctg(∠CAK) = 7√2 \cdot ctg(22.5°).
9. AD = AK + KD = 7√2 + KD. KD можно найти как разность между AD и AK. Заметим, что AD = AC, так как ∠DAC = ∠DCA = 22.5°.
10. В прямоугольном треугольнике ABC, AC = BC / cos(∠BCA) = 7√2 / cos(22.5°). Следовательно, AD = 7√2 / cos(22.5°).
11. Тогда KD = AD - AK = 7√2 / cos(22.5°) - 7√2. Теперь можно найти CD = √(CK² + KD²) = √((7√2)² + (7√2 / cos(22.5°) - 7√2)²).
12. Теперь рассмотрим треугольник BCD. Известны BC = 7√2, CD = √((7√2)² + (7√2 / cos(22.5°) - 7√2)²) и ∠BCD = ∠BCA + ∠ACD = 22.5° + 90° = 112.5°. Используем теорему косинусов для нахождения BD: BD² = BC² + CD² - 2 \cdot BC \cdot CD \cdot cos(∠BCD). BD² = (7√2)² + (7√2)² + (7√2 / cos(22.5°) - 7√2)² - 2 \cdot 7√2 \cdot √((7√2)² + (7√2 / cos(22.5°) - 7√2)²) \cdot cos(112.5°).
13. BD = √(BC² + CD² - 2 \cdot BC \cdot CD \cdot cos(∠BCD)). BD = √(98 + (7√2 / cos(22.5°) - 7√2)² - 2 \cdot 7√2 \cdot √((7√2)² + (7√2 / cos(22.5°) - 7√2)²) \cdot cos(112.5°)).
14. Так как ∠CAD = 22.5° и ∠ACD = 90°, то AD = AC. Поскольку AC - биссектриса угла ∠A, равного 45°, получаем ∠BAC = 22.5°. Следовательно, в треугольнике ABC, ∠BCA = ∠DAC = 22.5°, и, таким образом, AB = BC = 7√2.
15. Проведем высоту CE к стороне AD. В прямоугольном треугольнике ACE, ∠CAE = 22.5°. Тогда AE = CE = AB = 7√2. Следовательно, AD = AE + ED = 7√2 + ED. Треугольник CED - прямоугольный, ∠CDE = 45°, поэтому ED = CE = 7√2. Значит, AD = 7√2 + 7√2 = 14√2.
16. Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник ABD. По теореме Пифагора, BD² = AB² + AD² = (7√2)² + (14√2)² = 98 + 392 = 490.
17. Таким образом, BD = √490 = √(49 \cdot 10) = 7√10.

Ответ: 7√10

Проверка за 10 секунд: Проверьте, чтобы значение диагонали BD было больше, чем меньшее основание BC, и чтобы решение соответствовало геометрическим свойствам трапеции.

Доп. профит: Читерский прием: При решении задач на геометрию всегда начинайте с анализа условия и выделения ключевых геометрических свойств фигуры.