В прямоугольной трапеции ABCD с основаниями AD и BC диагональ BD равна 32, а угол A равен 45°. Найдите большую боковую сторону, если меньшее основание трапеции равно 8√15.

Решение: 1. **Понимание условия и построение чертежа:** * Дана прямоугольная трапеция ABCD, где углы A и D прямые. * Основания AD и BC. AD > BC (так как ищем большую боковую сторону). * Диагональ BD = 32. * Угол A = 45°. * Меньшее основание BC = $$8\sqrt{15}$$. * Нужно найти большую боковую сторону CD. 2. **Анализ и план решения:** * Проведем высоту BK к основанию AD. Получим прямоугольный треугольник ABK. * Рассмотрим треугольник ABD. Зная угол A и BD, можно найти AD, если знать AB. * Рассмотрим прямоугольник BCDK. DK = BC. AD = AK + KD = AK + BC. * В треугольнике ABK, угол A = 45°, значит, это равнобедренный прямоугольный треугольник, т.е. AK = BK. Также, AB = BK*sqrt(2) 3. **Решение:** * Рассмотрим треугольник ABD. Так как трапеция прямоугольная, угол BAD = 90°. Диагональ BD = 32, угол А = 45°. Это позволяет выразить AB через AD. AD = AK + KD = AK + BC * Из прямоугольного треугольника ABK, где угол A = 45°, следует, что AK = AB. Тогда AD = AB + $$8\sqrt{15}$$. * Рассмотрим прямоугольный треугольник ABD. По теореме Пифагора: $$AB^2 + AD^2 = BD^2$$. Подставляем известные значения: $$AB^2 + (AB + 8\sqrt{15})^2 = 32^2$$ $$AB^2 + AB^2 + 16AB\sqrt{15} + (8\sqrt{15})^2 = 1024$$ $$2AB^2 + 16AB\sqrt{15} + 64*15 = 1024$$ $$2AB^2 + 16AB\sqrt{15} + 960 = 1024$$ $$2AB^2 + 16AB\sqrt{15} - 64 = 0$$ $$AB^2 + 8AB\sqrt{15} - 32 = 0$$ Решим квадратное уравнение относительно AB. Найдем дискриминант: $$D = (8\sqrt{15})^2 - 4 * 1 * (-32) = 64 * 15 + 128 = 960 + 128 = 1088$$ $$AB = \frac{-8\sqrt{15} \pm \sqrt{1088}}{2} = \frac{-8\sqrt{15} \pm 8\sqrt{17}}{2} = -4\sqrt{15} \pm 4\sqrt{17}$$ Так как AB - длина, берем положительный корень: $$AB = 4\sqrt{17} - 4\sqrt{15}$$. Тогда AD = $$4\sqrt{17} - 4\sqrt{15} + 8\sqrt{15} = 4\sqrt{17} + 4\sqrt{15}$$. * Найдем CD из прямоугольного треугольника BCD. CD - искомая боковая сторона. Рассмотрим прямоугольник ABCK, CK = AB. BK=AB, KD=8√15 BCDK - прямоугольник, то BK=CD=AB. И, следовательно CD = 4√17 - 4√15 = BC CD = Рассмотрим прямоугольный треугольник CDK: $$CD^2 = DK^2 + CK^2$$. CK = AD - BC, то CK = $$4\sqrt{17} + 4\sqrt{15} - 8\sqrt{15} = 4\sqrt{17} - 4\sqrt{15}$$. DK = AB = $$4\sqrt{17} - 4\sqrt{15}$$ Подставляем: $$CD^2 = (4\sqrt{17} - 4\sqrt{15})^2+AB^2=(4\sqrt{17} - 4\sqrt{15})^2 + (4\sqrt{17} - 4\sqrt{15})^2 = 2*(4\sqrt{17} - 4\sqrt{15})^2 $$ CD = √2*(4√17 - 4√15) = 4√2*(√17 - √15) 4. **Ответ:** * Большая боковая сторона трапеции равна $$4\sqrt{2}(\sqrt{17} - \sqrt{15})$$. **Разъяснение для ученика:** Эта задача требует хорошего знания геометрии и алгебры. Ключевые моменты - это умение видеть прямоугольные треугольники, применять теорему Пифагора и решать квадратные уравнения. Главное - внимательно анализировать условие и шаг за шагом упрощать задачу, пока не придешь к ответу. Не забудь убедиться, что корень, который ты нашел, имеет смысл (длина не может быть отрицательной).