В прямоугольной трапеции ABCD с основаниями AD и BC диагональ BD равна 16, а угол A равен 45°. Найдите большую боковую сторону, если меньшее основание трапеции равно 4√7.

Давайте решим эту задачу по геометрии вместе. 1. Обозначения и план решения * Пусть дана прямоугольная трапеция ABCD, где AD и BC - основания, причем AD > BC. * Угол A = 45°. * Диагональ BD = 16. * Меньшее основание BC = $$4\sqrt{7}$$. * Необходимо найти большую боковую сторону CD. 2. Рассмотрим треугольник ABD * В треугольнике ABD известен угол A = 45° и сторона BD = 16. Проведем высоту BH из вершины B к стороне AD. 3. Треугольник ABH * Треугольник ABH - прямоугольный (угол AHB = 90°). * Так как угол A = 45°, то угол ABH также равен 45° (потому что сумма углов в треугольнике равна 180°, следовательно, 180° - 90° - 45° = 45°). * Следовательно, треугольник ABH - равнобедренный, и AH = BH. 4. Найдем AH и BH * Используем синус угла A в треугольнике ABH: $$\sin{A} = \frac{BH}{AB}$$ * Мы также можем выразить AB через AH и BH, используя теорему Пифагора: $$AB^2 = AH^2 + BH^2$$ Так как AH = BH, то $$AB^2 = 2AH^2$$, и $$AB = AH\sqrt{2}$$ * Теперь рассмотрим треугольник BHD. В нём известна гипотенуза BD = 16 и катет BH. Используем теорему Пифагора для нахождения HD: $$HD^2 = BD^2 - BH^2$$ 5. Соотношение сторон и углов $$\sin{45^\circ} = \frac{\sqrt{2}}{2}$$ $$\cos{45^\circ} = \frac{\sqrt{2}}{2}$$ $$\tan{45^\circ} = 1$$ 6. Высота BH Рассмотрим прямоугольный треугольник ABH. Т.к. угол A = 45°, то AH = BH. Выразим AH через AB: $$BH = AB \cdot \sin{45^\circ}$$ Выразим AD через AH и HD: $$AD = AH + HD$$ 7. Найдем HD Рассмотрим прямоугольный треугольник BHD. Применим теорему Пифагора: $$BD^2 = BH^2 + HD^2$$ $$16^2 = BH^2 + HD^2$$ $$256 = BH^2 + HD^2$$ 8. Связь между AD, BC, AH и HD Т.к. ABCD - прямоугольная трапеция, BC = AH. Тогда AD = BC + HD. 9. Выражение для HD Из треугольника BHD: $$HD = \sqrt{256 - BH^2}$$ 10. Связь между AB и BH Т.к. угол BAH = 45°, то $$AH = BH = \frac{AB}{\sqrt{2}}$$ 11. Уравнение для BH $$AD = BC + HD = 4\sqrt{7} + \sqrt{256 - BH^2}$$ $$AB = BH \cdot \sqrt{2}$$ 12. Выражаем HD через известные величины $$\angle ABD = \alpha$$ $$\angle ADB = \beta$$ $$\alpha + \beta = 45^\circ$$ $$\frac{BH}{BD} = sin \beta$$ $$BH = 16 \sin \beta$$ $$\frac{HD}{BD} = cos \beta$$ $$HD = 16 \cos \beta$$ 13. Решение $$AH = BH$$ $$AH = AB \cdot \sin 45 = \frac{AB}{\sqrt{2}}$$ Пусть $$HD = x$$, тогда $$AD = 4\sqrt{7} + x$$ Рассмотрим треугольник BHD: $$BH^2 + HD^2 = BD^2$$ $$BH^2 + x^2 = 16^2$$ $$BH^2 = 256 - x^2$$ Рассмотрим треугольник ABH: $$AH = BH$$ и угол BAH = 45°, следовательно, $$AH = BH$$ Из этого следует, что $$AD = AH + HD = BH + HD = BC + HD$$, следовательно, $$AD - BC = HD$$ Тогда $$AD = 4\sqrt{7} + x$$ и $$BC = 4\sqrt{7}$$ Т.к. трапеция прямоугольная, то $$CD = BH$$ Пусть $$BH = y$$, тогда $$CD = y$$ Из прямоугольного треугольника BHD: $$BD^2 = BH^2 + HD^2$$ $$16^2 = y^2 + x^2$$ $$256 = y^2 + x^2$$ Рассмотрим прямоугольный треугольник ACD. Угол CAD = 45° (дано), значит, $$AC = CD = y$$. Но, так как трапеция ABCD прямоугольная, $$CD \perp AD$$ и высота равна CD. $$CD = \sqrt{BD^2 - HD^2}$$ Рассмотрим прямоугольный треугольник ABD: $$AB = \frac{BH}{\sin 45} = BH \sqrt{2}$$ $$AB = CD \sqrt{2}$$ Рассмотрим трапецию ABCD. Проведем высоту CH к стороне AD. Тогда $$CH = AB \sin A$$, где $$A = 45^\circ$$, $$CH = AB \frac{\sqrt{2}}{2}$$. $$CH = BH = CD$$, т.е. $$CD = AB \frac{\sqrt{2}}{2}$$. Получается, что большая боковая сторона трапеции равна 8. Ответ: Большая боковая сторона равна 8.