В прямоугольной трапеции ABCD с основаниями AD и BC диагональ BD равна 32, а угол A равен 45°. Найдите большую боковую сторону, если меньшее основание трапеции равно \(8\sqrt{15}\).

Пусть ABCD - данная прямоугольная трапеция, где \(AD\) и \(BC\) - основания, \(BD = 32\), \(\angle A = 45^\circ\), и \(BC = 8\sqrt{15}\). Так как трапеция прямоугольная, \(\angle A = \angle B = 90^\circ\). Угол A равен 45 градусам. Проведем высоту BH к основанию AD. Тогда ABH - прямоугольный треугольник, и угол A = 45 градусов. Следовательно, угол ABH = 45 градусов, а значит, AB = BH. Рассмотрим прямоугольный треугольник BHD. В нём \(BD = 32\). По теореме Пифагора: \[BD^2 = BH^2 + HD^2\]Так как \(\angle A = 45^\circ\), то \(AB = BH\). Обозначим \(AB = BH = x\). \[32^2 = x^2 + HD^2\]Также, так как ABCD - прямоугольная трапеция, \(BC = 8\sqrt{15}\) и \(BH = AB = x\). \[AD = BC + HD\]\[AD = 8\sqrt{15} + HD\]Рассмотрим треугольник ABH: \[\tan(\angle A) = \frac{BH}{AH}\]\[\tan(45^\circ) = \frac{x}{AH}\]\[1 = \frac{x}{AH}\]\[AH = x\]Так как AH = x, то \(HD = AD - AH = AD - x\). Также верно, что \(AH = AB = x\), потому что треугольник ABH равнобедренный (так как углы при основании равны 45 градусам). Тогда \(AH = x\). Так как AH = BC (потому что ABCH - прямоугольник), то \(AH = BC = 8\sqrt{15}\). Значит, \(x = 8\sqrt{15}\). Подставим значение x в уравнение теоремы Пифагора для треугольника BHD: \[32^2 = (8\sqrt{15})^2 + HD^2\]\[1024 = 64 \cdot 15 + HD^2\]\[1024 = 960 + HD^2\]\[HD^2 = 64\]\[HD = 8\]Теперь найдем AD: \[AD = BC + HD = 8\sqrt{15} + 8\]Большая боковая сторона трапеции - это CD. Рассмотрим прямоугольный треугольник CHD: \[CD^2 = CH^2 + HD^2\]Так как CH = AB и AB = \(8\sqrt{15}\), то \[CD^2 = (8\sqrt{15})^2 + 8^2\]\[CD^2 = 960 + 64 = 1024\]\[CD = \sqrt{1024} = 32\] Ответ: 32