В прямоугольной трапеции ABCD с основаниями AD и BC диагональ BD равна 6, а угол равен 45°. Найдите большую боковую сторону, если меньшее основание трапеции равно $$3\sqrt{3}$$.

Дано: Прямоугольная трапеция ABCD, AD и BC – основания, BD = 6, \(\angle ADB = 45^\circ\), BC = $$3\sqrt{3}$$. Найти: Большую боковую сторону AB. Решение: 1. Проведем высоту BH к основанию AD. Тогда AB будет большей боковой стороной, т.к. напротив большего угла лежит большая сторона. 2. Рассмотрим прямоугольный треугольник BHD. Так как \(\angle H = 90^\circ\) и \(\angle ADB = 45^\circ\), то \(\angle HBD = 180^\circ - 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ\). 3. Следовательно, треугольник BHD равнобедренный, и BH = HD. 4. По теореме Пифагора для треугольника BHD: $$BD^2 = BH^2 + HD^2$$ Так как BH = HD, то: $$BD^2 = 2 \cdot BH^2$$ $$6^2 = 2 \cdot BH^2$$ $$36 = 2 \cdot BH^2$$ $$BH^2 = 18$$ $$BH = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}$$ 5. Так как BH = HD, то HD = $$3\sqrt{2}$$. 6. Найдем AD: AD = AH + HD, где AH = BC = $$3\sqrt{3}$$. Следовательно, AD = $$3\sqrt{3} + 3\sqrt{2}$$. 7. Рассмотрим прямоугольный треугольник ABH. По теореме Пифагора: $$AB^2 = BH^2 + AH^2$$ $$AB^2 = (3\sqrt{2})^2 + (3\sqrt{3} + 3\sqrt{2})^2$$ $$AB^2 = 18 + (9 \cdot 3 + 18 + 2 \cdot 3\sqrt{3} \cdot 3\sqrt{2})$$ $$AB^2 = 18 + (27 + 18 + 18\sqrt{6})$$ $$AB^2 = 18 + 45 + 18\sqrt{6}$$ $$AB^2 = 63 + 18\sqrt{6}$$ $$AB = \sqrt{63 + 18\sqrt{6}}$$ Однако, нужно пересмотреть решение. По условию, угол равен 45 градусов. Значит это угол ADB. В таком случае: 1. Проведем высоту CH к основанию AD. 2. Тогда AHCD - прямоугольник, AH = BC = $$3\sqrt{3}$$ 3. Рассмотрим треугольник CHD - прямоугольный. Угол CDH = 45 градусам, т.к. вся трапеция ABCD прямоугольная, а CD это боковая сторона. 4. Значит треугольник CHD - равнобедренный, т.е. CH = HD. 5. $$BD = 6$$ не пригодится, т.к. мы рассматриваем другую боковую сторону. 6. Рассмотрим треугольник СHD, по теореме Пифагора: $$CD^2 = CH^2 + HD^2$$, значит $$CD^2 = 2CH^2$$. 7. Нужно найти CH. Рассмотрим треугольник ABD. В нём $$BH \perp AD$$, значит угол $$HBD = 45$$. Получается, что $$HD = BH$$ и $$BH = 3\sqrt{2}$$. 8. CH = BH, т.к. $$BC \parallel AD$$ и CH и BH перпендикуляры. 9. HD = AH - AD, значит HD = $$3\sqrt{3} - AD$$, поэтому нужно найти AD. Решение: 1. Проведем высоту $$CK$$ к основанию $$AD$$. Тогда $$BC = AK = 3\sqrt{3}$$. 2. Рассмотрим прямоугольный треугольник $$CKD$$. Угол $$\angle CDK = 45^\circ$$, так как по условию диагональ $$BD$$ образует угол $$45^\circ$$ с основанием $$AD$$. 3. Так как сумма углов в треугольнике равна $$180^\circ$$, то $$\angle DCK = 180^\circ - 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ$$. Значит, $$\triangle CKD$$ - равнобедренный, и $$CK = KD$$. 4. Рассмотрим прямоугольный $$\triangle BHD$$. $$BD = 6$$, $$\angle BDH = 45^\circ$$, следовательно, $$\angle HBD = 45^\circ$$. Значит, $$\triangle BHD$$ - равнобедренный, $$BH = HD$$. 5. По теореме Пифагора для $$\triangle BHD$$: $$BD^2 = BH^2 + HD^2$$, $$6^2 = BH^2 + BH^2$$, $$36 = 2BH^2$$, $$BH^2 = 18$$, $$BH = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}$$. 6. Следовательно, $$CK = BH = 3\sqrt{2}$$. 7. Так как $$CK = KD = 3\sqrt{2}$$, то $$AD = AK + KD = 3\sqrt{3} + 3\sqrt{2}$$. 8. Рассмотрим $$\triangle ABD$$. $$AB^2 = BH^2 + AH^2 = (3\sqrt{2})^2 + (3\sqrt{3})^2 = 18 + 27 = 45$$. $$AB = \sqrt{45} = 3\sqrt{5}$$. 9. Теперь рассмотрим боковую сторону $$CD$$. $$CD^2 = CK^2 + KD^2 = (3\sqrt{2})^2 + (3\sqrt{2})^2 = 18 + 18 = 36$$. $$CD = 6$$. Так как $$6 > 3\sqrt{5}$$, то $$CD$$ является большей боковой стороной. Таким образом, большая боковая сторона равна 6.