В прямоугольной трапеции ABCD с основаниями AD и BC диагональ BD равна 16, а угол равен 45°. Найдите большую боковую сторону, если меньшее основание трапеции равно 4√7.

Давайте решим эту задачу пошагово. **1. Понимание условия** У нас есть прямоугольная трапеция ABCD, где AD и BC - основания. Диагональ BD равна 16, а угол между диагональю BD и основанием AD равен 45°. Меньшее основание BC равно 4√7. Нужно найти большую боковую сторону. **2. Построение высоты** Проведем высоту CH из точки C к основанию AD. Получим прямоугольный треугольник CHD. **3. Анализ треугольника BCD** Так как угол между диагональю BD и основанием AD равен 45°, а BC || AD, то угол CBD = 45°. Треугольник BCD не является прямоугольным, но нам важен прямоугольный треугольник CHD. **4. Анализ треугольника BCH** Треугольник BCH – прямоугольный, так как CH является высотой. Угол CBD равен 45, как накрест лежащий с углом BDA. **5. Нахождение высоты CH** В треугольнике BCD проведем высоту CP. Угол CBD равен 45 градусам, то в треугольнике BCP, угол BCP = 45 градусам. Тогда треугольник BCP равнобедренный и BC = CP. Cледовательно, CP = 4√7. В прямоугольном треугольнике BPD, BD = 16. Угол BDP = 45. Значит, треугольник BDP – равнобедренный. Отсюда BP = DP. Применяем теорему Пифагора. BP^2 + DP^2 = 16^2. 2BP^2 = 256. BP^2=128. BP = √128 = 8√2. Так как BP = DP, DP = 8√2. **6. Нахождение HD** Теперь мы знаем, что высота CH = CP = 4√7, DP = 8√2. Поскольку HD = DP - HP, а HP = BC, то HD = 8√2-4√7. **7. Применение теоремы Пифагора к треугольнику CHD** Теперь, найдем CD (большую боковую сторону трапеции), используя теорему Пифагора в треугольнике CHD: \(CD^2 = CH^2 + HD^2\) \(CD^2 = (4\sqrt{7})^2 + (8\sqrt{2} - 4\sqrt{7})^2\) \(CD^2 = 16 \cdot 7 + (128 - 64\sqrt{14} + 16 \cdot 7)\) \(CD^2 = 112 + 128 - 64\sqrt{14} + 112\) \(CD^2 = 352 - 64\sqrt{14}\) \(CD = \sqrt{352 - 64\sqrt{14}}\) Для упрощения решения воспользуемся фактом что трапеция прямоугольная. Заметим что высота в такой трапеции = меньшему основанию, то есть СН = ВС = 4√7. Также, в прямоугольном треугольнике BHD, угол HBD = 45 градусов, значит треугольник равнобедренный и BH = HD. Обозначим за х сторону DH, тогда по теореме Пифагора для треугольника BHD имеем: x^2+x^2=16^2 2x^2=256 x^2=128 x=8√2 Тогда HD = 8√2. Большая боковая сторона CD: CD^2 = CH^2 + HD^2 CD^2 = (4√7)^2 + (8√2)^2 CD^2 = 16*7 + 64*2 CD^2 = 112 + 128 CD^2 = 240 CD = √240 CD = 4√15 **8. Итоговый ответ** Большая боковая сторона трапеции равна 4√15. **Развернутый ответ:** 1. Мы определили, что имеем дело с прямоугольной трапецией, где известны диагональ, угол между диагональю и основанием, а также меньшее основание. 2. Была построена высота из вершины меньшего основания к большему, что позволило рассмотреть прямоугольные треугольники. 3. Мы использовали свойство, что в прямоугольной трапеции высота равна меньшему основанию. 4. Мы определили длину отрезка на большем основании, используя равенство сторон в прямоугольном равнобедренном треугольнике, образованного диагональю и высотой 5. Далее, применили теорему Пифагора для нахождения большой боковой стороны, получив окончательный результат: 4√15.