В прямоугольной трапеции ABCD с основаниями AD и ВС диагональ АС является биссектрисой угла А, равного 45°. Найдите длину диагонали BD, если меньшее основание трапеции равно 6√2.

Рассмотрим прямоугольную трапецию ABCD, где AD и BC – основания, а угол A равен 45 градусам. Диагональ AC является биссектрисой угла A. Это означает, что угол BAC = углу CAD = 45°/2 = 22.5°. Поскольку трапеция прямоугольная, угол ABC = 90°. Меньшее основание трапеции равно $$6\sqrt{2}$$ . Нужно найти длину диагонали BD.

Обозначим меньшее основание BC как $$b = 6\sqrt{2}$$. Пусть большее основание AD равно a, а высота трапеции AB равна h. Так как угол A равен 45°, треугольник ABC является прямоугольным, и угол BCA = 90° - угол BAC = 90° - 22.5° = 67.5°.

Проведем высоту CH к основанию AD. Тогда AH = AD - HD = a - b. В прямоугольном треугольнике ACH угол CAH = 22.5°, следовательно, тангенс этого угла равен отношению противолежащего катета CH к прилежащему катету AH:

$$tg(22.5^\circ) = \frac{CH}{AH} = \frac{h}{a - b}$$

Поскольку угол BAC равен 22,5°, а угол ABC равен 90°, то угол BCA равен 67,5°. В прямоугольном треугольнике ABC имеем:

$$tg(22.5^\circ) = \frac{BC}{AB} = \frac{b}{h}$$

Используя, что $$b = 6\sqrt{2}$$:

$$tg(22.5^\circ) = \frac{6\sqrt{2}}{h}$$ $$h = \frac{6\sqrt{2}}{tg(22.5^\circ)}$$

Используя формулу для тангенса половинного угла, $$tg(22.5^\circ) = \sqrt{2} - 1$$:

$$h = \frac{6\sqrt{2}}{\sqrt{2} - 1} = \frac{6\sqrt{2}(\sqrt{2} + 1)}{(\sqrt{2} - 1)(\sqrt{2} + 1)} = \frac{6(2 + \sqrt{2})}{2 - 1} = 12 + 6\sqrt{2}$$

Так как угол CAD = 22.5°, то $$a - b = h$$. Значит,

$$a = h + b = 12 + 6\sqrt{2} + 6\sqrt{2} = 12 + 12\sqrt{2}$$

Рассмотрим прямоугольный треугольник ABD. По теореме Пифагора:

$$BD^2 = AB^2 + AD^2 = h^2 + a^2 = (12 + 6\sqrt{2})^2 + (12 + 12\sqrt{2})^2$$ $$BD^2 = (144 + 144\sqrt{2} + 72) + (144 + 288\sqrt{2} + 288) = 216 + 144\sqrt{2} + 432 + 288\sqrt{2} = 648 + 432\sqrt{2}$$ $$BD = \sqrt{648 + 432\sqrt{2}} = \sqrt{324(2 + \sqrt{2})}$$

Заметим, что трапеция прямоугольная, а диагональ AC является биссектрисой угла A. Тогда угол CAD = углу BAC = 45°/2 = 22.5°. Опустим высоту из вершины C на основание AD, получим точку H. Тогда AH = BC = $$6\sqrt{2}$$. В прямоугольном треугольнике CHD угол CDH = 45°, следовательно, CHD - равнобедренный, и CH = HD = h. Тогда AD = AH + HD = $$6\sqrt{2}$$ + h. Поскольку угол A = 45°, AB = AD - BC = h, следовательно $$AD = AB + BC$$, $$AB = AD - BC$$ = $$6\sqrt{2}$$. $$BD = \sqrt{AB^2 + AD^2} = 12\sqrt{2}$$

Ответ: $$12\sqrt{2}$$