В прямоугольной трапеции один из углов равен 135°, средняя линия равна 18 см, а основания относятся как 1 : 8. Найдите основания и её площадь.

Пусть основания трапеции равны a и b, где a : b = 1 : 8, то есть a = x, b = 8x. Средняя линия трапеции равна полусумме оснований, поэтому: $$\frac{a + b}{2} = 18$$ $$\frac{x + 8x}{2} = 18$$ $$\frac{9x}{2} = 18$$ $$9x = 36$$ $$x = 4$$ см. Тогда a = 4 см, b = 8 * 4 = 32 см. Так как один из углов трапеции равен 135°, а трапеция прямоугольная, то другой угол равен 90°. Угол между боковой стороной и большим основанием равен 135°, тогда угол между боковой стороной и меньшим основанием равен 180° - 135° = 45°. Проведем высоту из вершины меньшего основания к большему основанию. Получим прямоугольный треугольник, в котором угол равен 45°, а катет равен разности оснований: 32 - 4 = 28 см. Так как угол равен 45°, то высота трапеции равна этому катету, то есть h = 28 см. Площадь трапеции равна: $$S = \frac{a + b}{2} * h = 18 * 28 = 504$$ кв. см. Ответ: Основания равны 4 см и 32 см, площадь равна 504 кв. см.