В прямоугольной трапеции основания равны 3 и 8, а один из углов равен 135°. Найдите меньшую боковую сторону.

Давай решим эту задачу по шагам. 1. Понимание условия: У нас есть прямоугольная трапеция. Это значит, что один из углов между основанием и боковой стороной равен 90°. Большее основание равно 8, меньшее - 3. Один из углов равен 135°. Нам нужно найти меньшую боковую сторону. 2. Рисунок и обозначения: Представим трапецию ABCD, где AB - меньшая боковая сторона, CD - большая боковая сторона, BC и AD - основания. Углы A и B прямые (90°). Пусть угол D равен 135°. 3. Анализ углов: Поскольку сумма углов в четырехугольнике равна 360°, угол C можно найти следующим образом: 360° - 90° - 90° - 135° = 45°. 4. Построение высоты: Проведем высоту CH из вершины C к основанию AD. Теперь у нас есть прямоугольный треугольник CDH. Угол CDH равен 135° - 90° = 45°. Таким образом, угол DCH также равен 45° (поскольку сумма углов в треугольнике равна 180° и один угол прямой). 5. Свойства прямоугольного треугольника: Так как углы CDH и DCH равны 45°, треугольник CDH - равнобедренный. Следовательно, DH = CH. 6. Находим DH: Длина DH равна разности длин оснований AD и BC: DH = AD - BC = 8 - 3 = 5. 7. Находим CH: Так как DH = CH, то CH = 5. 8. Сравнение боковых сторон: Меньшая боковая сторона AB равна высоте CH, так как ABCD - прямоугольная трапеция, поэтому AB = CH = 5. 9. Находим CD: В прямоугольном треугольнике CDH, где DH = 5 и CH = 5, можем найти гипотенузу CD (большую боковую сторону) по теореме Пифагора: $CD = \sqrt{DH^2 + CH^2} = \sqrt{5^2 + 5^2} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}$. 10. Сравнение и выбор ответа: Поскольку $5 < 5\sqrt{2}$, меньшая боковая сторона равна 5. Ответ: 5