5. В прямоугольный треугольник с гипотенузой 10см вписана окружность. Расстояние от вершины прямого угла до точки касания с катетом равно 2см. Найдите площадь треугольника.

Разбираемся:

Пошаговое решение:

• Пусть катеты треугольника равны a и b, а гипотенуза c = 10см.
• Расстояние от вершины прямого угла до точки касания с катетом равно 2см. Это означает, что один из отрезков катета, прилежащего к прямому углу, равен 2см. Обозначим его как \(a - r = 2\), где r - радиус вписанной окружности.
• Аналогично, для второго катета \(b - r = 2\), так как касательные, проведенные из одной точки к окружности, равны.
• Выразим катеты: \(a = r + 2\), \(b = r + 2\). Получается, что треугольник равнобедренный и катеты равны.
• Тогда, по теореме Пифагора: \(a^2 + b^2 = c^2\).
• \((r + 2)^2 + (r + 2)^2 = 10^2\).
• \(2(r + 2)^2 = 100\).
• \((r + 2)^2 = 50\).
• \(r + 2 = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}\).
• \(r = 5\sqrt{2} - 2\).
• Катет равен \(a = r + 2 = 5\sqrt{2} - 2 + 2 = 5\sqrt{2}\) см.
• Площадь треугольника: \(S = \frac{1}{2}a^2 = \frac{1}{2}(5\sqrt{2})^2 = \frac{1}{2} \cdot 25 \cdot 2 = 25\) см².

Ответ: 25 см²