В прямоугольный треугольник с катетами 5 см и 12 см наугад бросают точку. Какова вероятность того, что точка попадёт в круг, вписанный в этот треугольник?

Площадь прямоугольного треугольника равна \(S_{\text{тр}}=\frac{5\cdot12}{2}=30\) см². Его гипотенуза равна 13 см, так как \(5^2+12^2=13^2\).

Радиус вписанной окружности прямоугольного треугольника: \(r=\frac{5+12-13}{2}=2\) см. Площадь круга равна \(S_{\text{кр}}=\pi r^2=4\pi\) см².

Вероятность попадания точки в круг — отношение площади круга к площади треугольника: \(P=\frac{4\pi}{30}=\frac{2\pi}{15}\).

Ответ: \(\frac{2\pi}{15}\) (примерно 0,419).