693. В прямоугольный треугольник вписана окружность радиуса r. Найдите периметр треугольника, если: а) гипотенуза равна m, r= 4 см; б) точка касания делит гипотенузу на отрезки, равные 5 см и 12 см.

а) Пусть катеты прямоугольного треугольника равны a и b, гипотенуза равна m. Радиус вписанной окружности связан с сторонами треугольника формулой: \[r = \frac{a + b - m}{2}\] Тогда, (a + b = 2r + m). Периметр треугольника равен: \[P = a + b + m = 2r + m + m = 2r + 2m = 2(r + m)\] Подставляем (r = 4) см и гипотенузу (m) см: \[P = 2(4 + m) = 8 + 2m\] Таким образом, периметр треугольника равен (2m + 8) см. б) Пусть точка касания делит гипотенузу на отрезки 5 см и 12 см. Тогда гипотенуза равна (5 + 12 = 17) см. Обозначим катеты прямоугольного треугольника как (a) и (b). Тогда: \[r = \frac{a + b - c}{2}\] Также известно, что касательные, проведенные из одной точки к окружности, равны. Отсюда: \[a = 5 + r \\ b = 12 + r\] Тогда (a + b = 17 + 2r). Подставляем в формулу для радиуса: \[r = \frac{17 + 2r - 17}{2} = r\] Воспользуемся теоремой Пифагора: (a^2 + b^2 = c^2), или ((5 + r)^2 + (12 + r)^2 = 17^2). Раскрываем скобки: \[25 + 10r + r^2 + 144 + 24r + r^2 = 289 \\ 2r^2 + 34r + 169 = 289 \\ 2r^2 + 34r - 120 = 0 \\ r^2 + 17r - 60 = 0\] Решаем квадратное уравнение: \[D = 17^2 - 4 \cdot (-60) = 289 + 240 = 529 = 23^2 \\ r = \frac{-17 \pm 23}{2}\] Так как радиус не может быть отрицательным, берем положительное значение: \[r = \frac{-17 + 23}{2} = \frac{6}{2} = 3\] Тогда (a = 5 + 3 = 8) см, (b = 12 + 3 = 15) см. Периметр треугольника равен: \[P = a + b + c = 8 + 15 + 17 = 40\] Ответ: а) (2m + 8) см, б) 40 см