693. В прямоугольный треугольник вписана окружность радиуса r. Найдите периметр треугольника, если: a) гипотенуза равна 26 см, r = 4 см; б) точка касания делит гипотенузу на отрезки, равные 5 см и 12 см. 694. Найдите диаметр окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, если гипотенуза треугольника равна с, а сумма катетов равна m.

Здравствуйте, ученики! Давайте решим задачи, которые вы видите на изображении. Задача 693 а) Дано: прямоугольный треугольник, гипотенуза (c) = 26 см, радиус вписанной окружности (r) = 4 см. Нужно найти периметр треугольника (P). В прямоугольном треугольнике с вписанной окружностью существует связь между катетами (a и b), гипотенузой (c) и радиусом вписанной окружности (r): $$r = \frac{a + b - c}{2}$$ Отсюда можно выразить сумму катетов: $$a + b = 2r + c$$ Подставим известные значения: $$a + b = 2 * 4 + 26 = 8 + 26 = 34$$ см Периметр треугольника равен сумме всех сторон: $$P = a + b + c$$ $$P = 34 + 26 = 60$$ см Ответ: Периметр треугольника равен 60 см. б) Дано: прямоугольный треугольник, гипотенуза разделена точкой касания на отрезки 5 см и 12 см. Нужно найти периметр треугольника. Пусть точка касания делит гипотенузу на отрезки x = 5 см и y = 12 см. Тогда гипотенуза c = x + y = 5 + 12 = 17 см. По свойству касательных, проведенных из одной точки к окружности, отрезки касательных от вершины до точки касания равны. Значит, катеты можно выразить как: $$a = x + r = 5 + r$$ $$b = y + r = 12 + r$$ Здесь r - радиус вписанной окружности. По теореме Пифагора: $$a^2 + b^2 = c^2$$ $$(5 + r)^2 + (12 + r)^2 = 17^2$$ $$25 + 10r + r^2 + 144 + 24r + r^2 = 289$$ $$2r^2 + 34r + 169 = 289$$ $$2r^2 + 34r - 120 = 0$$ $$r^2 + 17r - 60 = 0$$ Решим квадратное уравнение относительно r: $$D = 17^2 - 4 * 1 * (-60) = 289 + 240 = 529$$ $$r = \frac{-17 \pm \sqrt{529}}{2} = \frac{-17 \pm 23}{2}$$ Так как радиус не может быть отрицательным, выбираем положительное значение: $$r = \frac{-17 + 23}{2} = \frac{6}{2} = 3$$ см Теперь найдем катеты: $$a = 5 + 3 = 8$$ см $$b = 12 + 3 = 15$$ см Периметр равен: $$P = a + b + c = 8 + 15 + 17 = 40$$ см Ответ: Периметр треугольника равен 40 см. Задача 694 Дано: прямоугольный треугольник, гипотенуза равна c, сумма катетов равна m. Нужно найти диаметр вписанной окружности (d = 2r). Известно: $$a + b = m$$ $$c = c$$ $$r = \frac{a + b - c}{2}$$ Подставим m вместо a + b: $$r = \frac{m - c}{2}$$ Диаметр равен 2r: $$d = 2r = m - c$$ Ответ: Диаметр вписанной окружности равен m - c.