4. В прямой треугольной призме АВСА1В1С1 основание АВС прямоугольный треугольник с катетами АВ = 6, ВС = 8. Грань АВВ₁А₁ является квадратом. Найдите угол между прямыми А1В и B₁C.

Рассмотрим задачу по геометрии.

4. В прямой треугольной призме ABC A₁B₁C₁ основание ABC — прямоугольный треугольник с катетами AB = 6, BC = 8. Грань ABB₁A₁ является квадратом. Найдите угол между прямыми A₁B и B₁C.

Решение:

1. AB = 6, BC = 8.
2. Грань ABB₁A₁ является квадратом, значит, AA₁ = AB = 6.
3. Найдём AC по теореме Пифагора: AC = √(AB² + BC²) = √(6² + 8²) = √(36 + 64) = √100 = 10.
4. Введём систему координат. Пусть A(0, 0, 0), B(6, 0, 0), C(0, 8, 0), A₁(0, 0, 6), B₁(6, 0, 6), C₁(0, 8, 6).
5. Найдём координаты векторов A₁B и B₁C:
6. A₁B = B - A₁ = (6, 0, -6)
7. B₁C = C - B₁ = (-6, 8, -6)
8. Найдём косинус угла между векторами A₁B и B₁C по формуле:
9. cos(α) = (A₁B · B₁C) / (|A₁B| * |B₁C|)
10. A₁B · B₁C = (6 * -6) + (0 * 8) + (-6 * -6) = -36 + 0 + 36 = 0
11. |A₁B| = √(6² + 0² + (-6)²) = √(36 + 0 + 36) = √72 = 6√2
12. |B₁C| = √((-6)² + 8² + (-6)²) = √(36 + 64 + 36) = √136 = 2√34
13. cos(α) = 0 / (6√2 * 2√34) = 0
14. Угол α, косинус которого равен 0, равен 90°.

Ответ: 90°.