В равнобедренном треугольнике ABC AB = AC, медианы ВК и СР пересекаются в точке М, АМ = 4 см, ВС = 9 см. Чему равна площадь треугольника ABC?

Для решения задачи нам потребуется вспомнить свойства медиан в треугольнике и формулу площади треугольника.

1. Свойство медиан: Медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины.
2. Площадь треугольника: Площадь треугольника можно найти по формуле Герона, если известны все три стороны, или как половину произведения основания на высоту.

Поскольку медианы BK и CP пересекаются в точке M, и AM = 4 см, то отрезок AM составляет 2/3 медианы AC, тогда полная медиана AC равна:

$$AC = \frac{3}{2} AM = \frac{3}{2} \cdot 4 = 6 \text{ см}$$

Так как треугольник ABC равнобедренный (AB = AC), то медианы BK и CP равны. Точка пересечения медиан делит каждую медиану в отношении 2:1. Значит, если AM = 4, то CM = 2. То есть, медиана CP равна 6 см.

Теперь рассмотрим треугольник, образованный половиной основания BC (то есть 9/2 см = 4.5 см) и медианой, проведенной к основанию. Эта медиана также является высотой, поскольку треугольник равнобедренный. Нам нужно найти длину этой высоты. Обозначим середину BC как H. Тогда AH - высота и медиана.

Рассмотрим прямоугольный треугольник AHC. Мы знаем, что AC = 6 см и HC = 4.5 см. Используем теорему Пифагора для нахождения AH:

$$AH^2 = AC^2 - HC^2$$ $$AH^2 = 6^2 - 4.5^2 = 36 - 20.25 = 15.75$$ $$AH = \sqrt{15.75} = \sqrt{\frac{63}{4}} = \frac{3\sqrt{7}}{2} \text{ см}$$

Теперь мы можем найти площадь треугольника ABC, используя формулу площади треугольника как половину произведения основания на высоту:

$$S = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot AH = \frac{1}{2} \cdot 9 \cdot \frac{3\sqrt{7}}{2} = \frac{27\sqrt{7}}{4} \text{ см}^2$$ Ответ: $$\frac{27\sqrt{7}}{4}$$ см²