В равнобедренном треугольнике \(ABC\) на основании \(AC\) взяты точки \(D\) и \(E\) так, что \(AD=CE\). Докажите, что треугольник \(DBE\) равнобедренный.

Так как треугольник \(ABC\) равнобедренный с основанием \(AC\), то \(AB=BC\), а медиана, проведённая из вершины \(B\) к основанию \(AC\), является также осью симметрии треугольника.

Условие \(AD=CE\) означает, что точки \(D\) и \(E\) симметричны относительно этой оси. Поэтому при симметрии относительно оси треугольника точка \(B\) остаётся на месте, а точка \(D\) переходит в точку \(E\). Расстояния сохраняются, следовательно, \(BD=BE\).

Значит, треугольник \(DBE\) равнобедренный.

Ответ: \(BD=BE\), поэтому \(\triangle DBE\) равнобедренный.