В равнобедренном треугольнике ABC с основанием AC проведена биссектриса AD. Найдите углы этого треугольника, если \(\angle ADB = 110^\circ\).

Добрый день, ученики! Давайте решим эту задачу вместе. **1. Анализ условия:** * Мы имеем равнобедренный треугольник \(\triangle ABC\), где \(AB = BC\) и основание \(AC\). * \(AD\) - биссектриса угла \(\angle BAC\), то есть \(\angle BAD = \angle CAD\). * \(\angle ADB = 110^\circ\). **2. План решения:** * Найдем \(\angle ABD\) в треугольнике \(\triangle ABD\). * Используем свойство равнобедренного треугольника, чтобы найти углы при основании. * Найдем угол \(\angle BAC\), используя, что \(AD\) - биссектриса. * Найдем угол \(\angle BCA\). * Найдем угол \(\angle ABC\). **3. Решение:** * В треугольнике \(\triangle ABD\) сумма углов равна \(180^\circ\). Следовательно: \[\angle BAD + \angle ABD + \angle ADB = 180^\circ\] \[\angle ABD = 180^\circ - \angle ADB - \angle BAD\] Мы пока не знаем \(\angle BAD\), но двигаемся дальше. * \(\angle ADB\) и \(\angle ADC\) - смежные углы, поэтому их сумма равна \(180^\circ\). Значит: \[\angle ADC = 180^\circ - \angle ADB = 180^\circ - 110^\circ = 70^\circ\] * Теперь рассмотрим треугольник \(\triangle ADC\). В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная к основанию, является также медианой и высотой. Значит, \(AD\) не является высотой. Тогда решим по другому. * В треугольнике ABD: \(\angle ADB = 110^\circ\), следовательно, \(\angle ABD = 180^\circ - 110^\circ - \angle BAD = 70^\circ - \angle BAD\). * Т.к. \(AB = BC\), то \(\angle BAC = \angle BCA\). Пусть \(\angle BAD = x\), тогда \(\angle BAC = 2x\). Следовательно, \(\angle BCA = 2x\). * В треугольнике ABC: \(\angle ABC + \angle BAC + \angle BCA = 180^\circ\). Мы знаем, что \(\angle ABC = \angle ABD = 70^\circ - x\), \(\angle BAC = 2x\), и \(\angle BCA = 2x\). Тогда: \[(70^\circ - x) + 2x + 2x = 180^\circ\] \[70^\circ + 3x = 180^\circ\] \[3x = 110^\circ\] \[x = \frac{110^\circ}{3} \approx 36.67^\circ\] * Тогда \(\angle BAC = 2x = \frac{220^\circ}{3} \approx 73.33^\circ\) и \(\angle BCA = \angle BAC = \frac{220^\circ}{3} \approx 73.33^\circ\). * \(\angle ABC = 70^\circ - x = 70^\circ - \frac{110^\circ}{3} = \frac{210^\circ - 110^\circ}{3} = \frac{100^\circ}{3} \approx 33.33^\circ\). **4. Ответ:** Углы треугольника ABC: \(\angle BAC \approx 73.33^\circ\), \(\angle BCA \approx 73.33^\circ\), \(\angle ABC \approx 33.33^\circ\).