В равнобедренном треугольнике ABC с основанием AC угол B равен 120°. Высота треугольника, проведённая из вершины A, равна 6. Найдите длину стороны AC.

Для решения этой задачи, нужно воспользоваться свойствами равнобедренного треугольника и тригонометрическими функциями. 1. Визуализация: Представим равнобедренный треугольник $$ABC$$ с основанием $$AC$$. Угол $$B$$ равен $$120^circ$$. Высота, проведенная из вершины $$A$$ к стороне $$BC$$, равна 6. Наша задача – найти длину стороны $$AC$$. 2. Анализ углов: Так как треугольник $$ABC$$ равнобедренный с основанием $$AC$$, углы при основании равны. Обозначим $$\angle BAC = \angle BCA = \alpha$$. Сумма углов в треугольнике равна $$180^circ$$, поэтому: $$\angle BAC + \angle BCA + \angle ABC = 180^circ$$ $$\alpha + \alpha + 120^circ = 180^circ$$ $$2\alpha = 60^circ$$ $$\alpha = 30^circ$$ Итак, $$\angle BAC = \angle BCA = 30^circ$$. 3. Рассмотрим прямоугольный треугольник: Пусть $$H$$ – основание высоты, опущенной из вершины $$A$$ на сторону $$BC$$. Тогда треугольник $$AHB$$ прямоугольный, с углом $$\angle ABH = 120^circ$$. Но нам нужен внешний угол к углу $$B$$, который равен $$180^circ - 120^circ = 60^circ$$. Обозначим точку пересечения высоты из $$A$$ с продолжением стороны $$BC$$ как $$H$$. Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $$ACH$$, в котором $$\angle ACH = 30^circ$$ и $$AH = 6$$ (высота). 4. Находим $$HC$$: Используем тангенс угла $$\angle ACH$$: $$\tan(\angle ACH) = \frac{AH}{HC}$$ $$\tan(30^circ) = \frac{6}{HC}$$ $$HC = \frac{6}{\tan(30^circ)}$$ Так как $$\tan(30^circ) = \frac{1}{\sqrt{3}}$$, то: $$HC = 6\sqrt{3}$$ 5. Находим $$AC$$: Теперь, зная $$HC$$, мы можем найти $$AC$$ из прямоугольного треугольника $$AHC$$, используя косинус угла $$\angle ACH$$: $$\cos(\angle ACH) = \frac{HC}{AC}$$ $$\cos(30^circ) = \frac{6\sqrt{3}}{AC}$$ $$AC = \frac{6\sqrt{3}}{\cos(30^circ)}$$ Так как $$\cos(30^circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$$, то: $$AC = \frac{6\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = 6\sqrt{3} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} = 12$$ Ответ: Длина стороны AC равна 12.