В равнобедренном треугольнике ADB с основанием АВ угол D равен 120°. Высота треугольника, проведённая из вершины А, равна 36. Найдите длину стороны АВ.

Краткое пояснение:

Рассмотрим равнобедренный треугольник ADB. Проведем высоту из вершины A к основанию DB (или к его продолжению), чтобы использовать тригонометрию.

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: В равнобедренном треугольнике ADB с основанием AB углы при основании равны: \( \angle DAB = \angle DBA = \frac{180^\circ - 120^\circ}{2} = 30^\circ \).
2. Шаг 2: Проведем высоту AH из вершины A к основанию DB. Так как треугольник ADB равнобедренный (AD=DB), высота AH будет также медианой и биссектрисой. Однако, основание треугольника дано как AB, а угол D. Это значит, что стороны AD и DB равны.
3. Шаг 3: Проведем высоту AK из вершины A к стороне DB. В прямоугольном треугольнике AKD: \( \angle D = 120^\circ \), поэтому угол между AD и прямой DB будет \( 180 - 120 = 60^\circ \) (если проводить высоту к продолжению DB). Но основание треугольника — AB. Значит, AD = BD.
4. Шаг 4: Проведем высоту из вершины D к основанию AB. Пусть эта высота будет DH. \( \triangle ADH \) и \( \triangle BDH \) — прямоугольные. \( \angle ADH = \angle BDH = 120^\circ / 2 = 60^\circ \). \( \angle DAH = \angle DBH = 30^\circ \).
5. Шаг 5: В \( \triangle ADH \): \( \angle DAH = 30^\circ \). Высота DH = 36. \( \tan(30^\circ) = \frac{DH}{AH} \) и \( \sin(30^\circ) = \frac{DH}{AD} \). \( AD = \frac{DH}{\sin(30^\circ)} = \frac{36}{1/2} = 72 \).
6. Шаг 6: Так как AD=DB, то DB=72.
7. Шаг 7: Основание AB равно сумме оснований AH и HB. В \( \triangle ADH \), \( AH = DH / \tan(30^\circ) = 36 / (1/\sqrt{3}) = 36\sqrt{3} \).
8. Шаг 8: В \( \triangle BDH \), \( BH = DH / \tan(30^\circ) = 36\sqrt{3} \).
9. Шаг 9: \( AB = AH + BH = 36\sqrt{3} + 36\sqrt{3} = 72\sqrt{3} \).

Ответ: $$72√3$$