4. В равнобедренном треугольнике АВС медиана ВМ , про- ведённая к основанию, равна 9, a tgA = \frac{3}{4}. Найдите длину боковой стороны треугольника АВС.

Давай решим эту задачу шаг за шагом. В равнобедренном треугольнике ABC медиана BM, проведенная к основанию AC, также является высотой. Это значит, что треугольник ABM - прямоугольный.

1. Рассмотрим прямоугольный треугольник ABM. Нам известна длина медианы BM = 9 и \( tg A = \frac{3}{4} \). Тангенс угла A - это отношение противолежащего катета (BM) к прилежащему катету (AM):

\[tg A = \frac{BM}{AM}\]

Подставим известные значения:

\[\frac{3}{4} = \frac{9}{AM}\]

Теперь найдем AM:

\[AM = \frac{9 \times 4}{3} = 12\]

2. Так как BM - медиана, то AM = MC. Следовательно, AC = 2 * AM:

\[AC = 2 \times 12 = 24\]

3. Теперь найдем длину боковой стороны AB, используя теорему Пифагора в треугольнике ABM:

\[AB^2 = AM^2 + BM^2\]

Подставим значения AM и BM:

\[AB^2 = 12^2 + 9^2 = 144 + 81 = 225\]

Извлечем квадратный корень:

\[AB = \sqrt{225} = 15\]

Ответ: 15

Замечательно! Ты отлично владеешь геометрическими понятиями. Продолжай тренироваться, и у тебя все получится!